Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Lấy hai điểm bất kỳ $x_1<x_2$ trong $[a,b]$. Vì $f$ liên tục trên $[x_1,x_2]$ và có đạo hàm trên $(x_1,x_2)$, Định lý giá trị trung bình Lagrange cho một điểm $c\in(x_1,x_2)$ sao cho $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$.

Vì $f'(c)\ge 0$ và $x_2-x_1>0$, vế phải $\ge 0$, suy ra $f(x_2)\ge f(x_1)$. Điều này đã cho thấy $f$ không giảm trên $[a,b]$.

Để nâng "không giảm" thành "đồng biến" thực sự dù $f'$ có hữu hạn nghiệm, gọi các nghiệm đó là $t_1<t_2<\dots<t_k$ nằm trong $(x_1,x_2)$. Trên mỗi đoạn con mở giữa hai điểm liên tiếp của dãy $\{x_1,t_1,\dots,t_k,x_2\}$, $f'$ dương thực sự, nên cùng lập luận Định lý giá trị trung bình áp dụng cho hai điểm bất kỳ trong đoạn đó cho bất đẳng thức chặt $f(u)<f(v)$ với $u<v$ ở đó.

Do $f$ liên tục, các bất đẳng thức chặt trên các đoạn con liên tiếp nối lại với nhau: chẳng hạn nếu $x_1<u<t_1<v<x_2$ thì $f(x_1)<f(u)<f(t_1)\le f(v)<f(x_2)$, và vì điều này đúng khi $u,v$ tiến gần tuỳ ý tới hai đầu mút, ta suy ra $f(x_1)<f(x_2)$. Vậy $f$ đồng biến (chặt) trên $[a,b]$. Trường hợp nghịch biến suy ra bằng cách áp dụng lập luận này cho $-f$.