Ánh xạ biên bình phương bằng không

Chỉ cần kiểm tra khẳng định trên một đơn hình chiều $n$ đơn lẻ $\sigma = [v_0, \dots, v_n]$ rồi mở rộng theo tính tuyến tính. Theo định nghĩa, $\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i [v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$, trong đó $\hat{v_i}$ nghĩa là $v_i$ bị xóa.

Áp dụng $\partial_{n-1}$ lên từng số hạng và xóa thêm đỉnh thứ hai $v_j$ (với $j \ne i$) khỏi $[v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ cho ra mặt $[v_0, \dots, \hat{v_j}, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ thiếu đúng hai đỉnh $v_i, v_j$. Theo dõi kỹ dấu: khi $j < i$, đỉnh bị xóa ở vị trí $j$ trước (dấu $(-1)^j$) bên trong số hạng đã mang dấu $(-1)^i$, cho dấu tổng $(-1)^{i+j}$; khi $j > i$, xóa $v_j$ khỏi đơn hình $(n-1)$-chiều $[v_0,\dots,\hat{v_i},\dots,v_n]$ loại bỏ đỉnh nay đang ở vị trí $j-1$ (vì $v_i$ đã bị xóa trước), cho dấu $(-1)^i (-1)^{j-1} = -(-1)^{i+j}$.

Vậy $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = \sum_{j<i} (-1)^{i+j} [\dots,\hat{v_j},\dots,\hat{v_i},\dots] + \sum_{j>i} \left(-(-1)^{i+j}\right) [\dots,\hat{v_i},\dots,\hat{v_j},\dots]$. Mỗi mặt thiếu đúng hai đỉnh $\{v_i, v_j\}$ với $i < j$ xuất hiện đúng hai lần trong tổng kép này: một lần từ xóa $v_i$ rồi $v_j$ (góp $-(-1)^{i+j}$) và một lần từ xóa $v_j$ rồi $v_i$ (góp $+(-1)^{i+j}$), và hai đóng góp này đối nhau chính xác.

Mọi số hạng triệt tiêu theo cặp, nên $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = 0$ với mọi đơn hình $\sigma$, do đó $\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0$ trên toàn bộ $C_n$ theo tính tuyến tính.