Đồng điều và đối đồng điều

Đẳng thức duy nhất này khiến đồng điều được định nghĩa tốt: nó bảo đảm $\operatorname{im} \partial_{n+1} \subseteq \ker \partial_n$, nên thương trong định nghĩa $H_n(X)$ thực sự có nghĩa như một nhóm.

Chỉ cần kiểm tra khẳng định trên một đơn hình chiều $n$ đơn lẻ $\sigma = [v_0, \dots, v_n]$ rồi mở rộng theo tính tuyến tính. Theo định nghĩa, $\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i [v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$, trong đó $\hat{v_i}$ nghĩa là $v_i$ bị xóa.

Áp dụng $\partial_{n-1}$ lên từng số hạng và xóa thêm đỉnh thứ hai $v_j$ (với $j \ne i$) khỏi $[v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ cho ra mặt $[v_0, \dots, \hat{v_j}, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ thiếu đúng hai đỉnh $v_i, v_j$. Theo dõi kỹ dấu: khi $j < i$, đỉnh bị xóa ở vị trí $j$ trước (dấu $(-1)^j$) bên trong số hạng đã mang dấu $(-1)^i$, cho dấu tổng $(-1)^{i+j}$; khi $j > i$, xóa $v_j$ khỏi đơn hình $(n-1)$-chiều $[v_0,\dots,\hat{v_i},\dots,v_n]$ loại bỏ đỉnh nay đang ở vị trí $j-1$ (vì $v_i$ đã bị xóa trước), cho dấu $(-1)^i (-1)^{j-1} = -(-1)^{i+j}$.

Vậy $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = \sum_{j<i} (-1)^{i+j} [\dots,\hat{v_j},\dots,\hat{v_i},\dots] + \sum_{j>i} \left(-(-1)^{i+j}\right) [\dots,\hat{v_i},\dots,\hat{v_j},\dots]$. Mỗi mặt thiếu đúng hai đỉnh $\{v_i, v_j\}$ với $i < j$ xuất hiện đúng hai lần trong tổng kép này: một lần từ xóa $v_i$ rồi $v_j$ (góp $-(-1)^{i+j}$) và một lần từ xóa $v_j$ rồi $v_i$ (góp $+(-1)^{i+j}$), và hai đóng góp này đối nhau chính xác.

Mọi số hạng triệt tiêu theo cặp, nên $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = 0$ với mọi đơn hình $\sigma$, do đó $\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0$ trên toàn bộ $C_n$ theo tính tuyến tính.

Điều này nói rằng tổng đan dấu số lượng ô (một con số tổ hợp, dễ đếm bằng tay) bằng tổng đan dấu các số Betti (một bất biến tô pô chỉ phụ thuộc vào hình dạng, không phụ thuộc tam giác hóa). Nó tổng quát hóa $V - E + F = 2$ tới mọi chiều.

Cố định $n$ và xét ánh xạ biên $\partial_n : C_n \to C_{n-1}$ như một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector hữu hạn chiều (làm việc trên $\mathbb{Q}$ cho đơn giản). Theo định lý hạng–số chiều hạt nhân (rank-nullity), $\operatorname{rank} C_n = \dim \ker \partial_n + \operatorname{rank} \partial_n$, trong đó $\operatorname{rank}\partial_n := \dim \operatorname{im} \partial_n$.

Ngoài ra, $\dim H_n(X) = \dim \ker \partial_n - \dim \operatorname{im} \partial_{n+1}$ trực tiếp từ định nghĩa thương $H_n = \ker \partial_n / \operatorname{im}\partial_{n+1}$, nên $\dim \ker \partial_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1}$.

Thay vào, $\operatorname{rank} C_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \operatorname{rank}\partial_n$. Bây giờ lập tổng đan dấu trên mọi $n$ từ $0$ tới chiều cao nhất $N$: $\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_n$.

Trong hai tổng cuối, số hạng $\operatorname{rank}\partial_k$ xuất hiện một lần từ tổng $\operatorname{rank}\partial_n$ (tại $n=k$, dấu $(-1)^k$) và một lần từ tổng $\operatorname{rank}\partial_{n+1}$ (tại $n=k-1$, dấu $(-1)^{k-1}$); hai dấu này đối nhau, nên mỗi $\operatorname{rank}\partial_k$ triệt tiêu chính xác (kiểu kính lồng), trừ các số hạng biên $\partial_0 = 0$ và $\partial_{N+1}=0$ vốn không đóng góp gì.

Điều còn lại là $\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n$, và vì vế trái là $\chi(X)$ theo định nghĩa, đây chính xác là $\chi(X) = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \beta_n(X)$.