Định lý Euler–Poincaré

Cố định $n$ và xét ánh xạ biên $\partial_n : C_n \to C_{n-1}$ như một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector hữu hạn chiều (làm việc trên $\mathbb{Q}$ cho đơn giản). Theo định lý hạng–số chiều hạt nhân (rank-nullity), $\operatorname{rank} C_n = \dim \ker \partial_n + \operatorname{rank} \partial_n$, trong đó $\operatorname{rank}\partial_n := \dim \operatorname{im} \partial_n$.

Ngoài ra, $\dim H_n(X) = \dim \ker \partial_n - \dim \operatorname{im} \partial_{n+1}$ trực tiếp từ định nghĩa thương $H_n = \ker \partial_n / \operatorname{im}\partial_{n+1}$, nên $\dim \ker \partial_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1}$.

Thay vào, $\operatorname{rank} C_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \operatorname{rank}\partial_n$. Bây giờ lập tổng đan dấu trên mọi $n$ từ $0$ tới chiều cao nhất $N$: $\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_n$.

Trong hai tổng cuối, số hạng $\operatorname{rank}\partial_k$ xuất hiện một lần từ tổng $\operatorname{rank}\partial_n$ (tại $n=k$, dấu $(-1)^k$) và một lần từ tổng $\operatorname{rank}\partial_{n+1}$ (tại $n=k-1$, dấu $(-1)^{k-1}$); hai dấu này đối nhau, nên mỗi $\operatorname{rank}\partial_k$ triệt tiêu chính xác (kiểu kính lồng), trừ các số hạng biên $\partial_0 = 0$ và $\partial_{N+1}=0$ vốn không đóng góp gì.

Điều còn lại là $\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n$, và vì vế trái là $\chi(X)$ theo định nghĩa, đây chính xác là $\chi(X) = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \beta_n(X)$.