Định lý hiệu tiêu cự của hypebol
Phát biểu
Nếu nằm trên hypebol với các tiêu điểm và , thì .
Vì sao đúng?
Cũng như elip được dựng từ tổng tiêu cự không đổi, hypebol được dựng từ hiệu tiêu cự không đổi. Định lý này kiểm chứng rằng phương trình đại số với dấu trừ giữa các số hạng bình phương tạo ra hành vi hiệu không đổi đó, và xác định hằng số chính là .
Phác thảo chứng minh
Gọi P(x,y) là điểm trên nhánh phải (x >= a), đặt r1 = PF1, r2 = PF2. Như trước, r1^2 - r2^2 = (x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx, nên (r1-r2)(r1+r2) = 4cx.
Trên hypebol, hiệu r1-r2 giữ nguyên dấu và, theo tính đối xứng của hai nhánh, có độ lớn bằng một hằng số d nào đó. Viết r1+r2 = 4cx/d và kết hợp với r1-r2 = d ta được r1 = d/2 + 2cx/d.
Thay biểu thức này vào r1^2 = (x+c)^2+y^2 và dùng y^2 = b^2(x^2/a^2-1) từ phương trình hypebol. Khai triển và gom các hệ số x^2, phương trình được thỏa với mọi x khi d = 2a và c^2 = a^2+b^2.
Do đó r1-r2 = 2a trên nhánh phải, và theo lập luận đối xứng gương thì r2-r1 = 2a trên nhánh trái, nên trong mọi trường hợp |PF1-PF2| = 2a.
Chủ đề chứa định lý này
Chứng minh từng bước
Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.