定理証明済み

双曲線の焦点距離の差の定理

内容

$P(x,y)$ が焦点 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ を持ち $c^2=a^2+b^2$ を満たす双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上にあるとき、 $|PF_1-PF_2|=2a$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

楕円が焦点距離の和が一定であることから作られるのと同様に、双曲線は焦点距離の差が一定であることから作られる。この定理は、平方項の間にマイナス符号を持つ代数方程式がその差一定の性質を生むことを確認し、その定数が $2a$ であることを定める。

証明の概略

P(x,y) を右側の枝(x >= a)上の点とし、r1 = PF1、r2 = PF2 とおく。先と同様に r1^2 - r2^2 = (x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx なので、(r1-r2)(r1+r2) = 4cx。

双曲線上では差 r1-r2 は符号を保ち、2つの枝の対称性により、その大きさはある定数 d に等しい。r1+r2 = 4cx/d と r1-r2 = d を組み合わせると r1 = d/2 + 2cx/d が得られる。

これを r1^2 = (x+c)^2+y^2 に代入し、双曲線の方程式から得られる y^2 = b^2(x^2/a^2-1) を用いる。展開して x^2 の係数を整理すると、d = 2a かつ c^2 = a^2+b^2 のときにすべての x について方程式が成り立つ。

したがって右側の枝では r1-r2 = 2a であり、鏡映対称の議論により左側の枝では r2-r1 = 2a となるので、いずれの場合も |PF1-PF2| = 2a。

この定理を使うトピック

ステップごとの証明

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