Dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đặt giao điểm $O$ làm gốc, gọi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là vectơ chỉ phương của $a$ và $b$. Vì $a$ và $b$ cắt nhau và là hai đường thẳng phân biệt nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ độc lập tuyến tính, do đó chúng sinh ra mọi hướng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$: vectơ chỉ phương của một đường thẳng bất kì $c \subset (\alpha)$ có thể viết dưới dạng $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ với các số thực $\lambda, \mu$ nào đó.

Gọi $\vec{n}$ là một vectơ chỉ phương của $d$. Giả thiết $d \perp a$ và $d \perp b$ tương đương với hai đẳng thức tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ và $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$. Với đường thẳng $c$ bất kì trong $(\alpha)$ có phương $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$, tính tuyến tính của tích vô hướng cho $\vec{n} \cdot \vec{w} = \lambda(\vec{n}\cdot\vec{u}) + \mu(\vec{n}\cdot\vec{v}) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$.

Vì tích vô hướng của $\vec{n}$ với phương của một đường thẳng bất kì $c \subset (\alpha)$ bằng không, nên $d$ vuông góc với mọi đường thẳng của $(\alpha)$, đúng là định nghĩa của $d \perp (\alpha)$.