Công thức độ lệch ánh sáng của Einstein

Bước 1 (phương trình quỹ đạo cho ánh sáng). Với một trắc địa null nằm trong mặt phẳng xích đạo, cùng các đại lượng bảo toàn $E=(1-r_s/r)c^2\dot t$ và $L=r^2\dot\phi$ dùng cho mặt cầu photon, thay vào $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$ và chuyển từ đạo hàm theo $\tau$ sang đạo hàm theo $\phi$ của $u\equiv1/r$ (dùng $\dot r = -L\,du/d\phi$), sau khi lấy đạo hàm thêm một lần cho ta phương trình quỹ đạo bẻ cong ánh sáng chuẩn $$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{3r_s}{2}u^2, \qquad u\equiv\frac1r$$

Bước 2 (bậc không: đường thẳng). Bỏ vế phải (đặt $r_s=0$, không-thời gian phẳng) cho $u_0''+u_0=0$, nghiệm đi qua khoảng cách gần nhất $b$ tại $\phi=\pi/2$ là đường thẳng $$u_0(\phi) = \frac{\sin\phi}{b}$$ — quỹ đạo không bị lệch dưới dạng tọa độ cực.

Bước 3 (nhiễu loạn bậc một). Viết $u=u_0+r_s u_1$ và thay vào phương trình Bước 1, chỉ giữ số hạng tuyến tính theo $r_s$; phần $u_0''+u_0=0$ triệt tiêu và còn lại là một dao động điều hòa cưỡng bức cho $u_1$: $$u_1''+u_1 = \frac{3}{2b^2}\sin^2\phi$$ Một nghiệm riêng khớp với độ lệch đối xứng mong đợi ở hai bên điểm gần nhất là $$u_1(\phi) = \frac{1}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$ nên quỹ đạo đầy đủ bậc một là $$u(\phi) = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{r_s}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$

Bước 4 (trích ra tổng góc lệch). Không gian phẳng có $u\to0$ đúng tại $\phi=0$ và $\phi=\pi$; với số hạng sửa $r_s$, $u\to0$ tại $\phi=-\delta_1$ và $\phi=\pi+\delta_2$ với $\delta_1,\delta_2$ nhỏ. Khai triển $u(-\delta_1)=0$ đến bậc một theo $\delta_1$ và $r_s$ cho $-\delta_1/b+r_s/b^2=0$, nên $\delta_1=r_s/b$; tính tương tự ở đầu kia cho $\delta_2=r_s/b$. Tổng góc mà tiệm cận đi ra lệch khỏi song song ngược hướng hoàn toàn với tiệm cận đi vào là $$\Delta\phi = \delta_1+\delta_2 = \frac{2r_s}{b} = \frac{4GM}{c^2 b}$$ mà, khi thay lại $r_s=2GM/c^2$, chính là công thức cần chứng minh.