Hình học của lỗ đen

Hãy nghĩ chuyển động xuyên tâm như một quả bóng lăn trong một giếng thế năng một chiều $V_{\text{eff}}(r)$: quỹ đạo tròn nằm ở nơi giếng phẳng ($dV_{\text{eff}}/dr=0$), và chúng chỉ ổn định ở nơi giếng cong lên ($d^2V_{\text{eff}}/dr^2>0$) chứ không cong xuống. Vì thế năng tương đối tính có thêm một số hạng $1/r^3$ vốn không có trong hấp dẫn Newton, giếng phát triển một cực đại gần lỗ đen — bên trong bán kính đó không hề có quỹ đạo tròn ổn định nào, dù hạt quay nhanh đến đâu; vật chất chỉ đơn giản là rơi thẳng vào.

Bước 1 (đại lượng bảo toàn và phương trình xuyên tâm). Dọc theo mọi trắc địa (giống thời gian $\kappa=-c^2$, hoặc null $\kappa=0$) nằm trong mặt phẳng xích đạo $\theta=\pi/2$, việc mêtric không phụ thuộc $t$ và $\phi$ cho ta hai đại lượng bảo toàn $\tilde E = (1-r_s/r)c^2\dot t$ và $\tilde L = r^2\dot\phi$ (chấm $=d/d\tau$). Thay vào điều kiện chuẩn hóa $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\kappa$ và rút gọn, với chuyển động giống thời gian ta được $$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{\tilde L^2}{r^2}\right) \equiv \tilde E^2 - V^2_{\text{eff}}(r)$$

Bước 2 (điều kiện quỹ đạo tròn). Khai triển ra $$V^2_{\text{eff}}(r) = c^2 - \frac{c^2 r_s}{r} + \frac{\tilde L^2}{r^2} - \frac{\tilde L^2 r_s}{r^3}$$ Một quỹ đạo tròn có $r$ không đổi, tức $dr/d\tau=0$ mọi lúc, đòi hỏi cả $\tilde E^2=V^2_{\text{eff}}(r)$ lẫn (để $r$ không trôi đi) $dV^2_{\text{eff}}/dr=0$: $$\frac{d}{dr}V^2_{\text{eff}} = \frac{c^2 r_s}{r^2} - \frac{2\tilde L^2}{r^3} + \frac{3\tilde L^2 r_s}{r^4} = 0$$

Bước 3 (giải ra mô men động lượng của quỹ đạo tròn). Nhân với $r^4$ rồi giải theo $\tilde L^2$ cho ta mô men động lượng cần để duy trì quỹ đạo tròn tại bán kính $r$: $$\tilde L^2(r) = \frac{c^2 r_s r^2}{2r-3r_s}$$ Điều này đã mang thông tin về mặt cầu photon: khi $r\to (3/2)r_s$ từ phía trên, mẫu số $2r-3r_s\to0^+$ và $\tilde L^2\to+\infty$ — không có mô men động lượng hữu hạn nào duy trì được quỹ đạo tròn gần đến vậy, đúng là giới hạn khối lượng bằng không (photon) đạt được ở dưới.

Bước 4 (ổn định biên — ISCO). Khi $r$ giảm từ vô cực, $\tilde L^2(r)$ trước tiên giảm, đạt cực tiểu, rồi bùng nổ tại $r=3r_s/2$; một quỹ đạo tròn ổn định đúng nơi cần $\tilde L^2$ tăng để $r$ co lại thêm (tức là dấu của $d\tilde L^2/dr$ quyết định tính ổn định). Lấy đạo hàm kết quả Bước 3, $$\frac{d\tilde L^2}{dr} = \frac{2c^2 r_s\,r(r-3r_s)}{(2r-3r_s)^2}$$ triệt tiêu tại $r=0$ (loại), $r=3r_s$, và không nơi nào khác với $r>3r_s/2$. Nghiệm trong duy nhất này là bán kính ổn định biên: $$r_{\text{ISCO}} = 3r_s = \dfrac{6GM}{c^2}$$ Với $r>3r_s$ quỹ đạo ổn định ($d\tilde L^2/dr>0$, $r$ lớn hơn cần mô men động lượng lớn hơn, như trong Kepler); với $3r_s/2<r<3r_s$ nó không ổn định.

Bước 5 (mặt cầu photon từ trắc địa null). Với trắc địa null, cùng phép thay thế với $\kappa=0$ cho ta $$\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 = E^2 - \frac{L^2}{r^2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \equiv E^2 - V^2_{\gamma}(r)$$ với $$V^2_\gamma(r) = L^2\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right)$$ Cho đạo hàm của biểu thức trong ngoặc bằng không, $$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right) = -\frac{2}{r^3}+\frac{3r_s}{r^4}=0 \;\Longrightarrow\; r=\frac{3r_s}{2}$$ xác định trực tiếp bán kính duy nhất của quỹ đạo tròn photon, $$r_{\text{ph}} = \dfrac{3}{2}r_s = \dfrac{3GM}{c^2}$$ khớp với giới hạn tìm thấy ở Bước 3, và nó không ổn định vì biểu thức $1/r^2-r_s/r^3$ có một cực đại địa phương, không phải cực tiểu, tại đó — bất kỳ xê dịch vào trong nào cũng làm photon xoáy vào chân trời, bất kỳ xê dịch ra ngoài nào cũng làm nó thoát ra vô cực.

Hấp dẫn Newton, coi như một lực tác lên hạt chuyển động nhanh, dự đoán có độ lệch, nhưng nó chỉ tính đến độ cong của thời gian (đồng hồ chạy chậm gần khối lượng). Thuyết tương đối rộng thêm vào một đóng góp bằng nhau từ độ cong của không gian (thước co lại theo hướng xuyên tâm gần khối lượng), và hai hiệu ứng cộng lại, làm gấp đôi độ lệch — chính hệ số này đã giúp đoàn thám hiểm nhật thực năm 1919 phân biệt thuyết Einstein với thuyết Newton.

Bước 1 (phương trình quỹ đạo cho ánh sáng). Với một trắc địa null nằm trong mặt phẳng xích đạo, cùng các đại lượng bảo toàn $E=(1-r_s/r)c^2\dot t$ và $L=r^2\dot\phi$ dùng cho mặt cầu photon, thay vào $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$ và chuyển từ đạo hàm theo $\tau$ sang đạo hàm theo $\phi$ của $u\equiv1/r$ (dùng $\dot r = -L\,du/d\phi$), sau khi lấy đạo hàm thêm một lần cho ta phương trình quỹ đạo bẻ cong ánh sáng chuẩn $$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{3r_s}{2}u^2, \qquad u\equiv\frac1r$$

Bước 2 (bậc không: đường thẳng). Bỏ vế phải (đặt $r_s=0$, không-thời gian phẳng) cho $u_0''+u_0=0$, nghiệm đi qua khoảng cách gần nhất $b$ tại $\phi=\pi/2$ là đường thẳng $$u_0(\phi) = \frac{\sin\phi}{b}$$ — quỹ đạo không bị lệch dưới dạng tọa độ cực.

Bước 3 (nhiễu loạn bậc một). Viết $u=u_0+r_s u_1$ và thay vào phương trình Bước 1, chỉ giữ số hạng tuyến tính theo $r_s$; phần $u_0''+u_0=0$ triệt tiêu và còn lại là một dao động điều hòa cưỡng bức cho $u_1$: $$u_1''+u_1 = \frac{3}{2b^2}\sin^2\phi$$ Một nghiệm riêng khớp với độ lệch đối xứng mong đợi ở hai bên điểm gần nhất là $$u_1(\phi) = \frac{1}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$ nên quỹ đạo đầy đủ bậc một là $$u(\phi) = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{r_s}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$

Bước 4 (trích ra tổng góc lệch). Không gian phẳng có $u\to0$ đúng tại $\phi=0$ và $\phi=\pi$; với số hạng sửa $r_s$, $u\to0$ tại $\phi=-\delta_1$ và $\phi=\pi+\delta_2$ với $\delta_1,\delta_2$ nhỏ. Khai triển $u(-\delta_1)=0$ đến bậc một theo $\delta_1$ và $r_s$ cho $-\delta_1/b+r_s/b^2=0$, nên $\delta_1=r_s/b$; tính tương tự ở đầu kia cho $\delta_2=r_s/b$. Tổng góc mà tiệm cận đi ra lệch khỏi song song ngược hướng hoàn toàn với tiệm cận đi vào là $$\Delta\phi = \delta_1+\delta_2 = \frac{2r_s}{b} = \frac{4GM}{c^2 b}$$ mà, khi thay lại $r_s=2GM/c^2$, chính là công thức cần chứng minh.

Trong thuyết tương đối rộng, hấp dẫn luôn hội tụ ánh sáng chứ không làm nó phân kỳ (đó là điều điều kiện năng lượng mã hóa); một chùm tia sáng vốn đã hội tụ ở cả hai phía tại một mặt kín nào đó do đó sẽ tiếp tục hội tụ, và về mặt hình học các tia sáng hội tụ phải cắt nhau — nhưng hai tia sáng cắt nhau (một điểm liên hợp) bên trong một vùng mà một không-thời gian hyperbolic toàn cục, có tính chất tốt không thể lý giải được nếu không tạo ra một biên cho sự tồn tại của tia sáng đó. Định lý biến trực giác hội tụ này thành một bất đẳng thức chặt chẽ (phương trình Raychaudhuri) và một chướng ngại tô pô toàn cục.

Bước 1 (mặt bị bẫy, bằng ký hiệu). Cho $S$ là một mặt 2 chiều kín, giống không gian, và cho $\theta$ ký hiệu độ giãn nở của một chùm trắc địa null rời khỏi $S$ theo phương vuông góc — tốc độ tương đối mà diện tích tiết diện chùm tăng lên. Xa mọi khối lượng, chùm đi ra giãn nở ($\theta_{\text{out}}>0$) và chùm đi vào co lại ($\theta_{\text{in}}<0$). $S$ bị bẫy nếu thay vào đó $\theta_{\text{out}}<0, \qquad \theta_{\text{in}}<0$ trên toàn bộ $S$: ngay cả ánh sáng đi ra cũng đang bị kéo vào trong.

Bước 2 (phương trình Raychaudhuri). Lấy đạo hàm định nghĩa $\theta=\nabla_a k^a$ của độ giãn nở dọc theo chùm null có tiếp tuyến $k^a$, và dùng định nghĩa của tensor Riemann để hoán đổi các đạo hàm, cho ta đẳng thức động học chính xác $$\frac{d\theta}{d\lambda} = -\frac{\theta^2}{2} - \sigma_{ab}\sigma^{ab} - R_{ab}k^ak^b$$ trong đó $\sigma_{ab}$ là tensor cắt của chùm. Phương trình này thuần túy hình học — một phát biểu về cách mọi họ tia sáng phải bẻ cong, suy ra từ định nghĩa độ cong, trước khi giả định bất kỳ vật lý nào.

Bước 3 (điều kiện năng lượng buộc hội tụ thêm). Vật chất hợp lý về mặt vật lý thỏa điều kiện năng lượng null $$R_{ab}k^ak^b \ge 0$$ và số hạng cắt $\sigma_{ab}\sigma^{ab}\ge0$ luôn đúng (nó là tổng bình phương); bỏ cả hai số hạng không âm ở vế phải đẳng thức Bước 2 cho ta bất đẳng thức $$\frac{d\theta}{d\lambda} \le -\frac{\theta^2}{2}$$

Bước 4 (bất đẳng thức Riccati buộc bùng nổ trong thời gian hữu hạn). Trên một mặt bị bẫy, $\theta_0<0$ tại $\lambda=0$. Miễn là $\theta$ còn âm, chia bất đẳng thức cho $\theta^2>0$ và sắp xếp lại cho $$\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\theta}\right) \ge \frac12 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\theta(\lambda)} \ge \frac{1}{\theta_0}+\frac{\lambda}{2}$$ Vì vế phải tăng không giới hạn khi $\lambda$ tăng trong khi $1/\theta$ (âm) phải thỏa cận dưới này, $1/\theta$ bị buộc tiến lên $0^-$, tức $\theta\to-\infty$, tại một tham số afin hữu hạn nào đó $\lambda_*\le 2/|\theta_0|$: chùm null vuông góc với $S$ phải phát triển một điểm liên hợp (một điểm caustic, nơi các tia sáng lân cận cắt nhau) trong thời gian afin hữu hạn.

Bước 5 (từ hội tụ cục bộ đến không đầy đủ toàn cục). Một kết quả chuẩn của lý thuyết cấu trúc nhân quả (được dùng nhưng không suy lại ở đây) cho thấy một trắc địa null trong không-thời gian hyperbolic toàn cục không thể duy trì tính achronal — không thể ở lại biên của tương lai của một tập — sau một điểm liên hợp. Kết hợp với mặt Cauchy không compact, điều này loại trừ khả năng trắc địa vòng trở lại hay kết thúc theo cách thông thường, và buộc ít nhất một trắc địa null vuông góc với $S$ phải không đầy đủ về tương lai: nó không thể kéo dài tới tham số afin lớn tùy ý. Theo định nghĩa, tính không đầy đủ này chính là điều Penrose gọi là kỳ dị — định lý cho thấy nó phải xảy ra mà không cần giả định đối xứng nào, bất cứ khi nào một mặt bị bẫy hình thành.