Tiêu chuẩn biệt thức cho tính không suy biến

Điểm $(x_0,y_0)$ là điểm suy biến khi và chỉ khi đồng thời $F=y^2-x^3-ax-b=0$, $\partial F/\partial y = 2y_0 = 0$, và $\partial F/\partial x = -3x_0^2-a=0$. Phương trình thứ hai buộc $y_0=0$, nên $x_0$ phải là nghiệm của $x^3+ax+b$; phương trình thứ ba buộc $3x_0^2+a=0$, tức $x_0$ cũng là nghiệm của đạo hàm $3x^2+a$. Một đa thức và đạo hàm của nó có chung nghiệm chính xác tại một nghiệm bội của đa thức đó, nên $E$ suy biến khi và chỉ khi $x^3+ax+b$ có nghiệm bội. Biệt thức cổ điển của đa thức bậc ba khuyết $x^3+ax+b$ là $-4a^3-27b^2$, triệt tiêu đúng khi đa thức bậc ba có nghiệm bội; nhân với hằng số chuẩn hóa $-16$ cho $\Delta = -16(4a^3+27b^2)$, vậy $E$ không suy biến khi và chỉ khi $\Delta \neq 0$.