Đường cong elliptic

Một điểm $(x_0, 0)$ nơi đa thức bậc ba có nghiệm bội chính là nơi đường cong bị thắt lại thành mũi nhọn hoặc tự cắt chính nó, vì hướng tiếp tuyến ở đó trở nên không xác định — đúng là khiếm khuyết hình học sẽ phá vỡ luật nhóm dây cung-tiếp tuyến.

Điểm $(x_0,y_0)$ là điểm suy biến khi và chỉ khi đồng thời $F=y^2-x^3-ax-b=0$, $\partial F/\partial y = 2y_0 = 0$, và $\partial F/\partial x = -3x_0^2-a=0$. Phương trình thứ hai buộc $y_0=0$, nên $x_0$ phải là nghiệm của $x^3+ax+b$; phương trình thứ ba buộc $3x_0^2+a=0$, tức $x_0$ cũng là nghiệm của đạo hàm $3x^2+a$. Một đa thức và đạo hàm của nó có chung nghiệm chính xác tại một nghiệm bội của đa thức đó, nên $E$ suy biến khi và chỉ khi $x^3+ax+b$ có nghiệm bội. Biệt thức cổ điển của đa thức bậc ba khuyết $x^3+ax+b$ là $-4a^3-27b^2$, triệt tiêu đúng khi đa thức bậc ba có nghiệm bội; nhân với hằng số chuẩn hóa $-16$ cho $\Delta = -16(4a^3+27b^2)$, vậy $E$ không suy biến khi và chỉ khi $\Delta \neq 0$.

Đại lượng $a_p := p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$ đo 'số hạng sai số' so với phỏng đoán ngây thơ rằng một đa thức bậc ba ngẫu nhiên nên có khoảng $p$ nghiệm cộng thêm điểm tại vô cực; chặn Hasse nói rằng sai số này không bao giờ vượt quá khoảng $2\sqrt{p}$, một độ lệch nhỏ đến kinh ngạc so với chặn tầm thường cỡ $p$, và chính điều này khiến $\#E(\mathbb{F}_p)$ trở thành một bậc nhóm đáng tin cậy, dự đoán được, dùng trong các cấu trúc mật mã.

Xét tự đồng cấu Frobenius $\varphi: E(\overline{\mathbb{F}_p}) \to E(\overline{\mathbb{F}_p})$, $\varphi(x,y) = (x^p, y^p)$. Các điểm bất động của nó chính xác là $E(\mathbb{F}_p)$, và ta chứng minh được $\#E(\mathbb{F}_p) = \deg(\varphi - 1) = p+1-t$ với $t = \varphi + \hat\varphi$ là vết của Frobenius tác động lên vành tự đồng cấu. Ánh xạ bậc trên các tự đồng cấu của $E$ là một dạng toàn phương nguyên xác định dương (thỏa mãn $\deg(m\varphi+n) \ge 0$ với mọi số nguyên $m,n$, đẳng thức chỉ xảy ra khi $m\varphi+n=0$), và $\deg\varphi = p$. Khai triển $\deg(m\varphi+n) = m^2 p + mnt + n^2 \ge 0$ như một dạng toàn phương theo $m,n$ buộc biệt thức của nó không dương: $t^2 - 4p \le 0$, tức $|t|\le 2\sqrt p$. Vì $\#E(\mathbb{F}_p) - (p+1) = -t$, đây chính xác là chặn đã nêu.

Định lý này là thành quả số học của luật nhóm: nó nói rằng dù tập các điểm hữu tỉ trông phức tạp đến đâu, nó luôn được kiểm soát bởi hữu hạn các điểm 'hạt giống' — một tập sinh hữu hạn — mà từ đó mọi điểm hữu tỉ khác đều đạt được bằng phép cộng dây cung-tiếp tuyến lặp lại.

Chứng minh kết hợp hai thành phần. Mordell–Weil yếu: ta chứng minh $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ là một nhóm hữu hạn, bằng cách nhúng nó (qua đối đồng điều Galois, dùng ánh xạ giáng bậc $2$ là $P \mapsto (x(P)-e_1, x(P)-e_2, x(P)-e_3)$ với các nghiệm $e_i$ của đa thức bậc ba) vào một nhóm dựng từ nhóm lớp và nhóm đơn vị của một trường số liên quan, cả hai đều được biết là hữu hạn. Giáng theo độ cao: ta gắn cho mỗi điểm một độ cao chính tắc $\hat h(P) \ge 0$, một đại lượng thực đo độ phức tạp số học thỏa mãn $\hat h(2P) = 4\hat h(P)$ và chỉ hữu hạn điểm có độ cao dưới một chặn cho trước. Kết hợp một tập hữu hạn đại diện lớp ghép của $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ với việc lặp lại giảm một nửa độ cao của bất kỳ điểm nào (qua luật hình bình hành cho độ cao) cuối cùng rơi vào vùng độ cao bị chặn cho thấy mọi điểm đều là một tổ hợp $\mathbb{Z}$ của hữu hạn đại diện và hữu hạn điểm có độ cao bị chặn — vậy $E(\mathbb{Q})$ được sinh hữu hạn.

Đây là một phát biểu cứng nhắc đáng kinh ngạc: trong vô số nhóm abel hữu hạn khả dĩ về mặt trừu tượng, chỉ đúng $15$ nhóm này từng xuất hiện làm phần xoắn của một đường cong elliptic hữu tỉ — một nhóm con xoắn có cấp, chẳng hạn, $11$ hay $16$ đơn giản là không thể xảy ra.

Chứng minh năm 1977 của Mazur chuyển việc tồn tại một điểm hữu tỉ có bậc đúng $N$ trên $E$ thành việc tồn tại một điểm hữu tỉ không phải điểm chóp trên đường cong modular $X_1(N)$, phân loại các cặp $(E, P)$ với $P$ có bậc $N$. Chiến lược này khảo sát Jacobian $J_0(N)$ của đường cong modular liên quan $X_0(N)$ và iđêan Eisenstein $\mathcal{I}$ — iđêan trong đại số Hecke sinh bởi $T_\ell - \ell - 1$ với các số nguyên tố $\ell \nmid N$ — tác động lên nó. Bằng cách phân tích thương Eisenstein của $J_0(N)$ và phép rút gọn của nó theo modulo các số nguyên tố phụ trợ, Mazur chứng minh rằng với $N$ nằm ngoài danh sách cho phép, $X_1(N)(\mathbb{Q})$ chỉ gồm các điểm chóp, nên không đường cong elliptic nào trên $\mathbb{Q}$ có thể có điểm hữu tỉ với bậc đúng đó; các cấu trúc tường minh (chẳng hạn dùng các đường cong $y^2=x^3+ax$ và $y^2=x^3+b$) minh họa các ví dụ hiện thực hóa mỗi nhóm trong $15$ nhóm được phép.

Tính modular biến mỗi đường cong elliptic thành một dạng modular được ngụy trang, chuyển bộ máy giải tích mạnh mẽ sẵn có cho dạng modular (tiếp tục giải tích, phương trình hàm) sang cho đường cong elliptic, và — điều quan trọng cho Định lý lớn Fermat — nó có nghĩa là một đường cong không thể là modular thì không thể tồn tại.

Wiles đã chứng minh tính modular cho các đường cong elliptic bán ổn định trên $\mathbb{Q}$ vào năm 1994–95 (với bước cuối cùng, một tiêu chuẩn số học cho đẳng cấu giữa các vành biến dạng và đại số Hecke — '$R=T$ định lý' — được thiết lập cùng với Richard Taylor). Chiến lược này chứng minh rằng biểu diễn Galois trên môđun Tate $\ell$-adic của $E$, và biểu diễn tương ứng gắn với một dạng modular ứng viên, sống trong cùng một không gian biến dạng; chứng minh rằng vành biến dạng $R$ và đại số Hecke $T$ tác động lên dạng modular trùng nhau buộc mọi biểu diễn Galois được phép — đặc biệt là của $E$ — phải đến từ một dạng modular. Vì mọi đường cong bán ổn định là đủ để loại trừ một phản ví dụ cho phương trình Fermat (bất kỳ nghiệm $a^n+b^n=c^n$ nào cũng sẽ cho ra một đường cong Frey bán ổn định $y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$ mà Kenneth Ribet đã chứng minh, qua chứng minh giả thuyết $\varepsilon$ năm 1990 của ông, không thể là modular), điều này đã chứng minh Định lý lớn Fermat. Ràng buộc bán ổn định sau đó được gỡ bỏ hoàn toàn, mở rộng tính modular cho mọi đường cong elliptic trên $\mathbb{Q}$, bởi Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, và Richard Taylor năm 2001.