椭圆曲线

三次多项式出现重根的点 $(x_0, 0)$ 恰好就是曲线收缩成尖点或自相交的地方,因为那里切线方向不确定——这正是会破坏弦-切线群律的几何缺陷。

点 $(x_0,y_0)$ 是奇异点当且仅当 $F=y^2-x^3-ax-b=0$、$\partial F/\partial y = 2y_0 = 0$、$\partial F/\partial x = -3x_0^2-a=0$ 同时成立。第二式迫使 $y_0=0$,故 $x_0$ 必须是 $x^3+ax+b$ 的根;第三式迫使 $3x_0^2+a=0$,即 $x_0$ 也是导数 $3x^2+a$ 的根。一个多项式与其导数有公共根,恰好发生在该多项式的重根处,故 $E$ 奇异当且仅当 $x^3+ax+b$ 有重根。既约三次式 $x^3+ax+b$ 的经典判别式为 $-4a^3-27b^2$,恰好在三次式有重根时为零;乘以规范化常数 $-16$ 得 $\Delta = -16(4a^3+27b^2)$,所以 $E$ 非奇异当且仅当 $\Delta \neq 0$。

量 $a_p := p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$ 度量了朴素猜测(随机三次式应有约 $p$ 个解再加上无穷远点)的“误差项”;哈塞界表明这个误差绝不会超过约 $2\sqrt{p}$,相比大小为 $p$ 的平凡界,这是一个惊人地小的偏差,也正因如此 $\#E(\mathbb{F}_p)$ 才能作为密码学构造中可靠、可预测的群阶使用。

考虑弗罗贝尼乌斯自同态 $\varphi: E(\overline{\mathbb{F}_p}) \to E(\overline{\mathbb{F}_p})$,$\varphi(x,y) = (x^p, y^p)$。它的不动点恰好是 $E(\mathbb{F}_p)$,并且可以证明 $\#E(\mathbb{F}_p) = \deg(\varphi - 1) = p+1-t$,其中 $t = \varphi + \hat\varphi$ 是弗罗贝尼乌斯作用在自同态环上的迹。$E$ 的自同态上的次数映射是一个正定的整值二次型(对一切整数 $m,n$ 满足 $\deg(m\varphi+n) \ge 0$,且仅当 $m\varphi+n=0$ 时取等),而 $\deg\varphi = p$。将 $\deg(m\varphi+n) = m^2 p + mnt + n^2 \ge 0$ 作为关于 $m,n$ 的二次型展开,其判别式必须非正:$t^2 - 4p \le 0$,即 $|t|\le 2\sqrt p$。由于 $\#E(\mathbb{F}_p) - (p+1) = -t$,这正是所要证明的界。

这个定理是群律带来的算术成果:无论有理点集合看起来多么复杂,它总是由有限多个“种子”点——一个有限生成集——所控制,从这些点出发反复用弦-切线加法就能得到每一个其他的有理点。

证明结合了两个要素。弱莫德尔–韦伊定理:证明 $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ 是有限群,方法是(通过伽罗瓦上同调,利用三次式的根 $e_i$ 对应的 $2$-下降映射 $P \mapsto (x(P)-e_1, x(P)-e_2, x(P)-e_3)$)把它嵌入由相关数域的理想类群与单位群构造出的群中,而这两者都是已知有限的。高度下降:给每个点赋予一个典范高度 $\hat h(P) \ge 0$,这是度量算术复杂度的实数值量,满足 $\hat h(2P) = 4\hat h(P)$,且高度低于任何给定界的点只有有限多个。把 $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ 的有限个陪集代表元,与(通过高度的平行四边形法则)反复把任意点的高度减半最终会落入有界高度区域这一事实结合起来,就说明每个点都是有限个代表元与有限个有界高度点的 $\mathbb{Z}$ 组合——因此 $E(\mathbb{Q})$ 是有限生成的。

这是一个引人注目的刚性论断:在抽象上可能存在无穷多种有限阿贝尔群之中,作为有理椭圆曲线挠元实际出现的却只有这 $15$ 种——比如阶为 $11$ 或 $16$ 的挠子群根本不可能出现。

马祖尔在1977年的证明把 $E$ 上存在阶恰为 $N$ 的有理点这一事实,转化为在模曲线 $X_1(N)$(它对 $P$ 的阶为 $N$ 的对 $(E, P)$ 进行分类)上存在非尖点有理点。该策略研究相关模曲线 $X_0(N)$ 的雅可比簇 $J_0(N)$,以及作用其上的爱森斯坦理想 $\mathcal{I}$——即由素数 $\ell \nmid N$ 对应的 $T_\ell - \ell - 1$ 在 Hecke 代数中生成的理想。通过分析 $J_0(N)$ 的爱森斯坦商及其模辅助素数的约化,马祖尔证明:对于不在允许列表中的 $N$,$X_1(N)(\mathbb{Q})$ 只由尖点组成,因此 $\mathbb{Q}$ 上任何椭圆曲线都不可能有阶恰为该值的有理点;而显式构造(例如利用曲线 $y^2=x^3+ax$ 与 $y^2=x^3+b$)则给出了实现全部 $15$ 个允许群的例子。

模性把每一条椭圆曲线都变成了乔装的模形式,将模形式可用的强大解析工具(解析延拓、函数方程)转移到椭圆曲线上;而对费马大定理而言至关重要的是,这意味着不可能是模的曲线根本不存在。

怀尔斯于1994–95年证明了 $\mathbb{Q}$ 上半稳定椭圆曲线的模性(最后一步——变形环与 Hecke 代数之间同构的一个数值判据,即“$R=T$ 定理”——是与理查德·泰勒共同确立的)。该策略证明了 $E$ 的 $\ell$-adic Tate 模上的伽罗瓦表示,与某个候选模形式相伴的表示,都落在同一个形变空间中;证明形变环 $R$ 与作用于模形式上的 Hecke 代数 $T$ 相重合,就迫使每一个被允许的伽罗瓦表示——尤其是 $E$ 的表示——都来自某个模形式。由于任何半稳定曲线就足以排除费马方程的反例(任何解 $a^n+b^n=c^n$ 都会产生一条半稳定的 Frey 曲线 $y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$,而肯尼斯·里贝特通过其1990年对 $\varepsilon$-猜想的证明已表明该曲线不可能是模的),这就证明了费马大定理。半稳定性这一限制后来被克里斯托夫·布勒伊、布赖恩·康拉德、弗雷德·戴蒙德与理查德·泰勒于2001年彻底去除,将模性推广到了 $\mathbb{Q}$ 上所有椭圆曲线。