Định lý cực trị nội điểm của Fermat và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai

(Điều kiện cần.) Giả sử $x_0$ là cực đại địa phương; trường hợp cực tiểu tương tự. Tồn tại $\delta>0$ sao cho $f(x)\le f(x_0)$ với mọi $x$ mà $|x-x_0|<\delta$. Với $h\in(0,\delta)$, $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0$, cho $h\to 0^+$ được $f'(x_0)\le 0$. Với $h\in(-\delta,0)$, tử số $\le 0$ và mẫu số âm nên $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0$, cho $h\to 0^-$ được $f'(x_0)\ge 0$. Vì $f$ khả vi tại $x_0$, hai giới hạn một phía phải bằng nhau, buộc $f'(x_0)=0$.

(Điều kiện đủ, trường hợp $f''(x_0)>0$.) Vì $f'(x_0)=0$ và $f''$ tồn tại gần $x_0$, định nghĩa $f''$ là đạo hàm của $f'$ cho $f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)=f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ khi $x\to x_0$. Vì $f''(x_0)>0$, biểu thức này âm khi $x$ hơi nhỏ hơn $x_0$ và dương khi $x$ hơi lớn hơn $x_0$.

Vậy $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x_0$: theo định lý đơn điệu, $f$ nghịch biến ngay bên trái $x_0$ và đồng biến ngay bên phải, đó chính xác là định nghĩa của cực tiểu địa phương tại $x_0$.

Trường hợp $f''(x_0)<0$ hoàn toàn tương tự với mọi bất đẳng thức đảo ngược, cho $f'$ đổi từ $+$ sang $-$, tức là cực đại địa phương. Khi $f''(x_0)=0$ khai triển trên không cho thông tin gì về dấu của $f'$ gần $x_0$, nên tiêu chuẩn này không kết luận được và phải xét trực tiếp dấu của $f'$ (như phần sai lầm thường gặp bên dưới minh hoạ với $f(x)=x^3$).