Ứng dụng đạo hàm

Đạo hàm dương nghĩa là mọi tiếp tuyến đều hướng lên dốc; một đường cong luôn men theo các tiếp tuyến đi lên thì không thể quay xuống được. Định lý Lagrange biến hình ảnh đó thành một bất đẳng thức chặt chẽ giữa hai điểm bất kỳ.

Lấy hai điểm bất kỳ $x_1<x_2$ trong $[a,b]$. Vì $f$ liên tục trên $[x_1,x_2]$ và có đạo hàm trên $(x_1,x_2)$, Định lý giá trị trung bình Lagrange cho một điểm $c\in(x_1,x_2)$ sao cho $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$.

Vì $f'(c)\ge 0$ và $x_2-x_1>0$, vế phải $\ge 0$, suy ra $f(x_2)\ge f(x_1)$. Điều này đã cho thấy $f$ không giảm trên $[a,b]$.

Để nâng "không giảm" thành "đồng biến" thực sự dù $f'$ có hữu hạn nghiệm, gọi các nghiệm đó là $t_1<t_2<\dots<t_k$ nằm trong $(x_1,x_2)$. Trên mỗi đoạn con mở giữa hai điểm liên tiếp của dãy $\{x_1,t_1,\dots,t_k,x_2\}$, $f'$ dương thực sự, nên cùng lập luận Định lý giá trị trung bình áp dụng cho hai điểm bất kỳ trong đoạn đó cho bất đẳng thức chặt $f(u)<f(v)$ với $u<v$ ở đó.

Do $f$ liên tục, các bất đẳng thức chặt trên các đoạn con liên tiếp nối lại với nhau: chẳng hạn nếu $x_1<u<t_1<v<x_2$ thì $f(x_1)<f(u)<f(t_1)\le f(v)<f(x_2)$, và vì điều này đúng khi $u,v$ tiến gần tuỳ ý tới hai đầu mút, ta suy ra $f(x_1)<f(x_2)$. Vậy $f$ đồng biến (chặt) trên $[a,b]$. Trường hợp nghịch biến suy ra bằng cách áp dụng lập luận này cho $-f$.

Tại một cực trị, tiếp tuyến phải nằm ngang, vì đường cong không thể tiếp tục đi lên (hoặc đi xuống) qua một đỉnh (hoặc đáy) mà không đổi chiều; đạo hàm cấp hai sau đó đo xem đường cong bẻ cong theo hướng nào tại điểm bằng phẳng đó, phân biệt đáy với đỉnh.

(Điều kiện cần.) Giả sử $x_0$ là cực đại địa phương; trường hợp cực tiểu tương tự. Tồn tại $\delta>0$ sao cho $f(x)\le f(x_0)$ với mọi $x$ mà $|x-x_0|<\delta$. Với $h\in(0,\delta)$, $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0$, cho $h\to 0^+$ được $f'(x_0)\le 0$. Với $h\in(-\delta,0)$, tử số $\le 0$ và mẫu số âm nên $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0$, cho $h\to 0^-$ được $f'(x_0)\ge 0$. Vì $f$ khả vi tại $x_0$, hai giới hạn một phía phải bằng nhau, buộc $f'(x_0)=0$.

(Điều kiện đủ, trường hợp $f''(x_0)>0$.) Vì $f'(x_0)=0$ và $f''$ tồn tại gần $x_0$, định nghĩa $f''$ là đạo hàm của $f'$ cho $f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)=f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ khi $x\to x_0$. Vì $f''(x_0)>0$, biểu thức này âm khi $x$ hơi nhỏ hơn $x_0$ và dương khi $x$ hơi lớn hơn $x_0$.

Vậy $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x_0$: theo định lý đơn điệu, $f$ nghịch biến ngay bên trái $x_0$ và đồng biến ngay bên phải, đó chính xác là định nghĩa của cực tiểu địa phương tại $x_0$.

Trường hợp $f''(x_0)<0$ hoàn toàn tương tự với mọi bất đẳng thức đảo ngược, cho $f'$ đổi từ $+$ sang $-$, tức là cực đại địa phương. Khi $f''(x_0)=0$ khai triển trên không cho thông tin gì về dấu của $f'$ gần $x_0$, nên tiêu chuẩn này không kết luận được và phải xét trực tiếp dấu của $f'$ (như phần sai lầm thường gặp bên dưới minh hoạ với $f(x)=x^3$).