Định lý lớn Fermat cho số mũ 4

Giả sử tồn tại nghiệm nguyên dương của $x^4+y^4=z^2$; chọn nghiệm có $z$ nhỏ nhất. Nếu $d=\gcd(x,y)>1$, thì $d^2\mid z$ và $(x/d)^4+(y/d)^4=(z/d^2)^2$ nhỏ hơn — mâu thuẫn. Vậy $\gcd(x,y)=1$, $(x^2,y^2,z)$ là bộ ba Pythagoras nguyên thủy; giả sử $x$ lẻ. Theo tham số hóa Euclid, tồn tại $m>n>0$ nguyên tố cùng nhau khác tính chẵn lẻ với $x^2=m^2-n^2$, $y^2=2mn$, $z=m^2+n^2$.

Từ $x^2+n^2=m^2$, bộ ba $(x,n,m)$ chính nó nguyên thủy, nên tồn tại $a>b>0$ nguyên tố cùng nhau với $x=a^2-b^2$, $n=2ab$, $m=a^2+b^2$. Khi đó $y^2=4mab$, nên $(y/2)^2=mab$ với $m,a,b$ đôi một nguyên tố cùng nhau và tích là số chính phương, buộc mỗi số là số chính phương: $m=z_1^2$, $a=x_1^2$, $b=y_1^2$.

Thế vào $m=a^2+b^2$ cho $z_1^2=x_1^4+y_1^4$ — nghiệm mới của cùng phương trình, với $z_1\le z_1^2=m<m^2+n^2=z$: nhỏ hơn ngặt, mâu thuẫn tính nhỏ nhất. Vậy không nghiệm nào tồn tại. Với $x^4+y^4=z^4$, đặt $Z=z^2$ sẽ cho nghiệm của $x^4+y^4=Z^2$, vừa bị loại.