Định lý lớn Fermat

Đây là trường hợp duy nhất mà chính Fermat đã viết chứng minh, tìm thấy trong giấy tờ của ông sau khi mất. Phương pháp — giáng vô hạn — từ một nghiệm giả định dựng ra một nghiệm nhỏ hơn ngặt, bất khả thi với số nguyên dương; đây là tổ tiên của quy nạp có nền dùng khắp toán học và khoa học máy tính hiện đại.

Giả sử tồn tại nghiệm nguyên dương của $x^4+y^4=z^2$; chọn nghiệm có $z$ nhỏ nhất. Nếu $d=\gcd(x,y)>1$, thì $d^2\mid z$ và $(x/d)^4+(y/d)^4=(z/d^2)^2$ nhỏ hơn — mâu thuẫn. Vậy $\gcd(x,y)=1$, $(x^2,y^2,z)$ là bộ ba Pythagoras nguyên thủy; giả sử $x$ lẻ. Theo tham số hóa Euclid, tồn tại $m>n>0$ nguyên tố cùng nhau khác tính chẵn lẻ với $x^2=m^2-n^2$, $y^2=2mn$, $z=m^2+n^2$.

Từ $x^2+n^2=m^2$, bộ ba $(x,n,m)$ chính nó nguyên thủy, nên tồn tại $a>b>0$ nguyên tố cùng nhau với $x=a^2-b^2$, $n=2ab$, $m=a^2+b^2$. Khi đó $y^2=4mab$, nên $(y/2)^2=mab$ với $m,a,b$ đôi một nguyên tố cùng nhau và tích là số chính phương, buộc mỗi số là số chính phương: $m=z_1^2$, $a=x_1^2$, $b=y_1^2$.

Thế vào $m=a^2+b^2$ cho $z_1^2=x_1^4+y_1^4$ — nghiệm mới của cùng phương trình, với $z_1\le z_1^2=m<m^2+n^2=z$: nhỏ hơn ngặt, mâu thuẫn tính nhỏ nhất. Vậy không nghiệm nào tồn tại. Với $x^4+y^4=z^4$, đặt $Z=z^2$ sẽ cho nghiệm của $x^4+y^4=Z^2$, vừa bị loại.

Một mẹo đại số đơn giản quy vô hạn số mũ về hai họ — số mũ 4 và số mũ nguyên tố lẻ — nhưng ngay cả vậy, ba thế kỷ với kỹ thuật sơ cấp sắc bén nhất chỉ chinh phục được vài số nguyên tố mỗi lần; định lý chỉ được giải quyết khi nhập khẩu bộ máy hoàn toàn mới từ đường cong elliptic.

Mọi số nguyên $n>2$ chia hết cho một số nguyên tố lẻ $p\ge3$ (viết $n=pk$) hoặc là lũy thừa của 2 với $n\ge4$, do đó chia hết cho 4 ($n=4k$). Một nghiệm của $x^n+y^n=z^n$ sẽ cho, với $X=x^k,Y=y^k,Z=z^k$, nghiệm của $X^p+Y^p=Z^p$ hoặc $X^4+Y^4=Z^4$. Vậy FLT cho mọi $n>2$ suy ra từ trường hợp $n=4$ (đã chứng minh) và mọi số nguyên tố lẻ $p\ge3$.

Euler (1770) mở rộng phép giáng của Fermat để chứng minh $p=3$ sơ cấp. Trong thế kỷ tiếp theo, Germain, Legendre và Kummer chứng minh những lớp số nguyên tố ngày càng lớn — công trình Kummer những năm 1850 giải quyết mọi số nguyên tố "chính quy" — nhưng không phép giáng đơn lẻ nào xử lý mọi số nguyên tố, và số nguyên tố lớn chống lại mọi nỗ lực suốt 140 năm nữa.

Trường hợp $p \ge 5$ được giải quyết năm 1994-95 bởi Andrew Wiles cùng Richard Taylor, dùng ý tưởng ngoài số học sơ cấp. Với nghiệm giả định $a^p+b^p=c^p$, Gerhard Frey (1984) gắn đường cong elliptic $y^2 = x(x-a^p)(x+b^p)$; Kenneth Ribet (1990) chứng minh đường cong này, nếu tồn tại, không thể modular. Wiles sau đó chứng minh mọi đường cong elliptic bán ổn định trên số hữu tỉ đều modular, nên đường cong Frey không thể tồn tại, và không có $a,b,c$ như vậy. Lập luận đầy đủ này — biểu diễn Galois, vành biến dạng, dạng modular — được dựng lại từng bước trong chứng minh đồng hành "Chứng minh tính modular của Wiles bằng phương pháp Taylor-Wiles (1994)" nằm dưới bài toán lớn Định lý lớn Fermat trong thư viện này; nó cần bộ máy chỉ giới thiệu sau này trong chương trình, nên không lặp lại ở đây.