费马大定理

这是费马本人留下证明手稿的唯一情形，是在他去世后从文稿中发现的。无穷递降法从任何假设的解出发构造出一个严格更小的解，而这对正整数不可能；它是现代数学与计算机科学中良基归纳法的祖先。

假设 $x^4+y^4=z^2$ 存在正整数解，取 $z$ 最小的一组。若 $d=\gcd(x,y)>1$，则 $d^2\mid z$，$(x/d)^4+(y/d)^4=(z/d^2)^2$ 更小——矛盾。故 $\gcd(x,y)=1$，$(x^2,y^2,z)$ 是本原毕达哥拉斯三元组；设 $x$ 为奇数。由欧几里得参数化，存在奇偶性不同、互素的 $m>n>0$，使 $x^2=m^2-n^2$、$y^2=2mn$、$z=m^2+n^2$。

由 $x^2+n^2=m^2$，$(x,n,m)$ 本身本原，故存在互素的 $a>b>0$ 使 $x=a^2-b^2$、$n=2ab$、$m=a^2+b^2$。此时 $y^2=4mab$，故 $(y/2)^2=mab$，而 $m,a,b$ 两两互素且乘积为完全平方，故各自为完全平方：$m=z_1^2$、$a=x_1^2$、$b=y_1^2$。

代入 $m=a^2+b^2$ 得 $z_1^2=x_1^4+y_1^4$——同一方程的新解，且 $z_1\le z_1^2=m<m^2+n^2=z$：严格更小，与最小性矛盾。故无解。对 $x^4+y^4=z^4$，令 $Z=z^2$ 便得 $x^4+y^4=Z^2$ 的解，而这刚被排除。

一个简单的代数技巧把无穷多个指数归约为指数4与奇素数指数两族，但即便如此，三个世纪最锋利的初等技巧一次也只能攻克少数几个素数；这个定理最终只有借助椭圆曲线理论的全新工具才得以解决。

每个整数 $n>2$ 要么被某个奇素数 $p\ge3$ 整除（$n=pk$），要么是 2 的幂且 $n\ge4$，从而被4整除（$n=4k$）。$x^n+y^n=z^n$ 的解会给出，令 $X=x^k,Y=y^k,Z=z^k$，$X^p+Y^p=Z^p$ 或 $X^4+Y^4=Z^4$ 的解。因此对所有 $n>2$ 的FLT由 $n=4$（已证）和所有奇素数 $p\ge3$ 的情形推出。

欧拉（1770年）推广费马的递降法初等证明了 $p=3$。此后一个世纪，热尔曼、勒让德、库默尔证明了越来越大类素数——库默尔19世纪50年代的工作解决了所有"正则"素数——但没有单一递降法能处理所有素数，大素数又抵抗了140年的一切尝试。

情形 $p \ge 5$ 于1994-95年由怀尔斯与泰勒合作解决，用了超出初等数论的思想。给定假设解 $a^p+b^p=c^p$，弗雷（1984年）构造椭圆曲线 $y^2 = x(x-a^p)(x+b^p)$；里贝（1990年）证明该曲线若存在则不可能是模的。怀尔斯随后证明有理数域上每条半稳定椭圆曲线都是模的，故弗雷曲线不可能存在，从而不存在这样的 $a,b,c$。这一横跨伽罗瓦表示、形变环与模形式的完整论证，在本库归于大问题费马大定理下的配套证明《泰勒-怀尔斯法给出的怀尔斯模性证明（1994年）》中逐步重构；因需要课程更靠后引入的工具，此处不再重复。