Phương trình Friedmann thứ nhất

Cố định một thiên hà thử đồng chuyển động tại bán kính đồng chuyển động $r_0$ từ một gốc tùy ý, nên khoảng cách vật lý của nó là $R(t)=a(t)r_0$ và vận tốc vật lý là $\dot R = \dot a\, r_0$. Theo định lý vỏ cầu Newton, lực hấp dẫn nó cảm nhận chỉ đến từ khối lượng $M$ nằm trong bán kính $R$, và vì không có vật chất đồng chuyển động nào vượt qua mặt cầu đồng chuyển động bán kính $r_0$ khi vũ trụ giãn nở, $M = \dfrac{4}{3}\pi (a r_{0})^{3}\rho$ không đổi theo thời gian (đối với vật chất không áp suất). Coi thiên hà thử, khối lượng $m$, như một vật phóng: tổng năng lượng cơ học của nó $\dfrac12 \dot a^{2} r_{0}^{2} - \dfrac{GM m}{a r_{0}} = E$ được bảo toàn.

Thay $M$: $\dfrac12 \dot a^2 r_0^2 - \dfrac{G m}{a r_0}\cdot\dfrac{4}{3}\pi (ar_0)^3\rho = E$, rút gọn thành $\dfrac12\dot a^2 r_0^2 - \dfrac{4}{3}\pi G m \rho\, a^2 r_0^2 = E$. Chia cả hai vế cho $\tfrac12 m a^2 r_0^2$: $\left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^2 - \dfrac{8\pi G}{3}\rho = \dfrac{2E}{m a^2 r_0^2}$.

Vế phải phải độc lập với bán kính tùy ý $r_0$ đã chọn (phương trình phải đúng với mọi quan sát viên đồng chuyển động, và bản thân $a(t)$ không phụ thuộc $r_0$), nên $\dfrac{2E}{mr_0^2}$ là một hằng số của quỹ đạo thiên hà thử chỉ có thể phụ thuộc cấu trúc tọa độ đồng chuyển động cố định — định nghĩa hằng số này bằng $\dfrac{2E}{m r_{0}^{2}} \equiv -kc^{2}$, cho $H^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}}$. Một lập luận nhiệt động lực học riêng (coi hằng số vũ trụ học như một chất lưu có mật độ năng lượng không đổi $\rho_\Lambda = \Lambda c^2/(8\pi G)$ rồi thay vào cùng công thức này) khôi phục số hạng $\Lambda c^2/3$, cho đúng $H^{2} = \left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$ — và điều đáng kinh ngạc là phép tính tương đối rộng đầy đủ từ phương trình trường Einstein cho ra đúng phương trình này, với $k$ giờ được xác định đúng là dấu độ cong không gian thực sự thay vì chỉ là một hằng số tích phân.