Phương trình Friedmann và vũ trụ học tương đối tính

Suy diễn đầy đủ thay mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker vào phương trình trường Einstein, nhưng một lập luận Newton đáng kinh ngạc (Milne & McCrea, 1934) tái tạo đúng cùng phương trình đó (đặt $\Lambda=0$): coi một thiên hà thử trên mặt một quả cầu vật chất đồng chuyển động đang giãn nở như một vật phóng thông thường trong trường hấp dẫn của mọi thứ nằm bên trong nó, rồi áp dụng bảo toàn năng lượng. Hấp dẫn bên ngoài một quả cầu đồng nhất hoạt động như thể toàn bộ khối lượng của nó tập trung tại tâm (định lý vỏ cầu Newton), nên chỉ khối lượng bên trong mới quan trọng — khớp với cách thuyết tương đối rộng chỉ cho phép khối lượng-năng lượng nằm bên trong cục bộ làm cong không-thời gian tại một điểm trong vũ trụ đồng nhất.

Cố định một thiên hà thử đồng chuyển động tại bán kính đồng chuyển động $r_0$ từ một gốc tùy ý, nên khoảng cách vật lý của nó là $R(t)=a(t)r_0$ và vận tốc vật lý là $\dot R = \dot a\, r_0$. Theo định lý vỏ cầu Newton, lực hấp dẫn nó cảm nhận chỉ đến từ khối lượng $M$ nằm trong bán kính $R$, và vì không có vật chất đồng chuyển động nào vượt qua mặt cầu đồng chuyển động bán kính $r_0$ khi vũ trụ giãn nở, $M = \dfrac{4}{3}\pi (a r_{0})^{3}\rho$ không đổi theo thời gian (đối với vật chất không áp suất). Coi thiên hà thử, khối lượng $m$, như một vật phóng: tổng năng lượng cơ học của nó $\dfrac12 \dot a^{2} r_{0}^{2} - \dfrac{GM m}{a r_{0}} = E$ được bảo toàn.

Thay $M$: $\dfrac12 \dot a^2 r_0^2 - \dfrac{G m}{a r_0}\cdot\dfrac{4}{3}\pi (ar_0)^3\rho = E$, rút gọn thành $\dfrac12\dot a^2 r_0^2 - \dfrac{4}{3}\pi G m \rho\, a^2 r_0^2 = E$. Chia cả hai vế cho $\tfrac12 m a^2 r_0^2$: $\left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^2 - \dfrac{8\pi G}{3}\rho = \dfrac{2E}{m a^2 r_0^2}$.

Vế phải phải độc lập với bán kính tùy ý $r_0$ đã chọn (phương trình phải đúng với mọi quan sát viên đồng chuyển động, và bản thân $a(t)$ không phụ thuộc $r_0$), nên $\dfrac{2E}{mr_0^2}$ là một hằng số của quỹ đạo thiên hà thử chỉ có thể phụ thuộc cấu trúc tọa độ đồng chuyển động cố định — định nghĩa hằng số này bằng $\dfrac{2E}{m r_{0}^{2}} \equiv -kc^{2}$, cho $H^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}}$. Một lập luận nhiệt động lực học riêng (coi hằng số vũ trụ học như một chất lưu có mật độ năng lượng không đổi $\rho_\Lambda = \Lambda c^2/(8\pi G)$ rồi thay vào cùng công thức này) khôi phục số hạng $\Lambda c^2/3$, cho đúng $H^{2} = \left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$ — và điều đáng kinh ngạc là phép tính tương đối rộng đầy đủ từ phương trình trường Einstein cho ra đúng phương trình này, với $k$ giờ được xác định đúng là dấu độ cong không gian thực sự thay vì chỉ là một hằng số tích phân.

Không giống hấp dẫn Newton, trong thuyết tương đối rộng, chính áp suất cũng hấp dẫn cùng với mật độ năng lượng — một hiệu ứng tinh tế không thấy được trong phương trình Friedmann thứ nhất, vốn chỉ liên quan tới $\rho$. Phương trình gia tốc hé lộ điều này: vật chất và bức xạ thông thường, có áp suất dương, luôn làm chậm sự giãn nở qua số hạng $+3p/c^2$, trong khi thứ gì đó có áp suất âm đủ mạnh, $p<-\rho c^2/3$, đảo dấu và tạo ra $\ddot a>0$ — sự tăng tốc vũ trụ, đúng như những gì năng lượng tối (được mô hình hóa ở đây bằng $\Lambda$) làm.

Bắt đầu từ phương trình Friedmann thứ nhất dạng $\dot a^2 = \dfrac{8\pi G}{3}\rho a^2 - kc^2 + \dfrac{\Lambda c^2}{3}a^2$ và lấy đạo hàm hai vế theo $t$: $2\dot a\ddot a = \dfrac{8\pi G}{3}\left(\dot\rho a^2 + 2\rho a\dot a\right) + \dfrac{2\Lambda c^2}{3}a\dot a$.

Chia mọi số hạng cho $2a\dot a$ (hợp lệ khi $\dot a\neq0$): $\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(\dfrac{\dot\rho\, a}{\dot a} + 2\rho\right) + \dfrac{\Lambda c^2}{3}$.

Giờ khử $\dot\rho$ bằng phương trình chất lưu $\dot\rho + 3\dfrac{\dot a}{a}\left(\rho + \dfrac{p}{c^{2}}\right) = 0$, sắp xếp lại thành $\dfrac{\dot\rho\,a}{\dot a} = -3\left(\rho+\dfrac{p}{c^2}\right)$. Thay vào: $\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-3\rho-\dfrac{3p}{c^2}+2\rho\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-\rho-\dfrac{3p}{c^2}\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$.

Đây đúng chính là $\dfrac{\ddot a}{a} = -\dfrac{4\pi G}{3}\left(\rho + \dfrac{3p}{c^{2}}\right) + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$, như đã khẳng định. Lưu ý bản thân phương trình chất lưu chẳng qua là định luật thứ nhất của nhiệt động lực học $d(\rho c^2 a^3) = -p\,d(a^3)$ áp dụng cho một thể tích đồng chuyển động đang giãn nở: năng lượng bên trong một mảnh đồng chuyển động chỉ thay đổi vì áp suất sinh công khi thể tích mảnh đó tăng lên.