Phương trình Friedmann thứ hai (gia tốc)

Bắt đầu từ phương trình Friedmann thứ nhất dạng $\dot a^2 = \dfrac{8\pi G}{3}\rho a^2 - kc^2 + \dfrac{\Lambda c^2}{3}a^2$ và lấy đạo hàm hai vế theo $t$: $2\dot a\ddot a = \dfrac{8\pi G}{3}\left(\dot\rho a^2 + 2\rho a\dot a\right) + \dfrac{2\Lambda c^2}{3}a\dot a$.

Chia mọi số hạng cho $2a\dot a$ (hợp lệ khi $\dot a\neq0$): $\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(\dfrac{\dot\rho\, a}{\dot a} + 2\rho\right) + \dfrac{\Lambda c^2}{3}$.

Giờ khử $\dot\rho$ bằng phương trình chất lưu $\dot\rho + 3\dfrac{\dot a}{a}\left(\rho + \dfrac{p}{c^{2}}\right) = 0$, sắp xếp lại thành $\dfrac{\dot\rho\,a}{\dot a} = -3\left(\rho+\dfrac{p}{c^2}\right)$. Thay vào: $\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-3\rho-\dfrac{3p}{c^2}+2\rho\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-\rho-\dfrac{3p}{c^2}\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$.

Đây đúng chính là $\dfrac{\ddot a}{a} = -\dfrac{4\pi G}{3}\left(\rho + \dfrac{3p}{c^{2}}\right) + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$, như đã khẳng định. Lưu ý bản thân phương trình chất lưu chẳng qua là định luật thứ nhất của nhiệt động lực học $d(\rho c^2 a^3) = -p\,d(a^3)$ áp dụng cho một thể tích đồng chuyển động đang giãn nở: năng lượng bên trong một mảnh đồng chuyển động chỉ thay đổi vì áp suất sinh công khi thể tích mảnh đó tăng lên.