Nhóm cơ bản của đường tròn

Bước 1 — Dựng ánh xạ phủ. Cho $p: \mathbb{R} \to S^1$ là $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$, một toàn ánh liên tục mà mỗi điểm của $S^1$ có một lân cận được phủ đều (nghịch ảnh của một cung nhỏ qua $p$ là hợp rời của các khoảng mở trong $\mathbb{R}$, mỗi khoảng ánh xạ đồng phôi lên cung đó). Cố định điểm gốc $1 = p(0) \in S^1$.

Bước 2 — Nâng đường đi. Với bất kỳ vòng $\gamma: [0,1] \to S^1$ nào với $\gamma(0)=\gamma(1)=1$, tồn tại duy nhất một nâng liên tục $\tilde\gamma: [0,1] \to \mathbb{R}$ với $p \circ \tilde\gamma = \gamma$ và $\tilde\gamma(0) = 0$ (dựng nó bằng cách phủ $[0,1]$ bằng hữu hạn khoảng con mà trên đó $\gamma$ nằm trong một lân cận phủ đều, rồi nâng từng mảnh, mỗi lần chọn nhánh của $p^{-1}$ tiếp nối từ điểm cuối trước). Định nghĩa $\deg(\gamma) = \tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$ (một số nguyên vì $p(\tilde\gamma(1)) = \gamma(1) = 1 = p(0)$ buộc $\tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$).

Bước 3 — Bất biến đồng luân. Nếu $\gamma \simeq_p \gamma'$ qua đồng luân $H$, tính chất nâng đồng luân (chứng minh cùng cách với nâng đường đi, từng dải một) cho một nâng liên tục $\tilde H$ với $\tilde H(s,0)=\tilde\gamma(s)$, và $\tilde H(0,t)=0$ với mọi $t$ (hằng, vì nó nâng vòng gốc hằng). Khi đó $t \mapsto \tilde H(1,t)$ là hàm liên tục nhận giá trị nguyên theo $t$ (theo cùng lập luận Bước 2), nên là hằng số; vậy $\deg(\gamma) = \tilde H(1,0) = \tilde H(1,1) = \deg(\gamma')$. Vậy $\deg$ xác định tốt trên các lớp đồng luân $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$.

Bước 4 — Tính chất đồng cấu. Với các vòng $\gamma, \delta$, nâng $\gamma * \delta$ bằng cách nâng $\gamma$ trước kết thúc tại $\deg(\gamma)$, rồi nâng $\delta$ bắt đầu từ $\deg(\gamma)$ (một bản dịch chuyển của nâng $\delta$, hợp lệ vì $p$ bất biến dưới tịnh tiến nguyên) cho thấy $\deg(\gamma * \delta) = \deg(\gamma) + \deg(\delta)$. Vậy $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ là một đồng cấu nhóm $\pi_1(S^1,1) \to \mathbb{Z}$.

Bước 5 — Tính song ánh. Toàn ánh: với mọi $n \in \mathbb{Z}$, $\gamma_n(s) = p(ns)$ là một vòng với $\deg(\gamma_n)=n$. Đơn ánh: nếu $\deg(\gamma)=0$, nâng $\tilde\gamma$ là một vòng trong $\mathbb{R}$ gốc tại $0$ (vì $\tilde\gamma(1)=0=\tilde\gamma(0)$); $\mathbb{R}$ lồi nên đồng luân đường thẳng $\tilde H(s,t) = (1-t)\tilde\gamma(s)$ co $\tilde\gamma$ về đường hằng tại $0$ với điểm đầu-cuối cố định, và hợp với $p$ cho một đồng luân đường đi từ $\gamma$ tới vòng hằng, nên $[\gamma]$ tầm thường. Vậy $\deg$ là một đồng cấu song ánh, tức một đẳng cấu $\pi_1(S^1,1) \cong \mathbb{Z}$.