Nhóm cơ bản

Nó chuyển một câu hỏi hình học, khó nắm bắt ("có bao nhiêu vòng về bản chất khác nhau trên một đường tròn?") thành số học nguyên thông thường, và là phép tính duy nhất mà mọi lập luận số vòng quấn của tô pô đại số đều truy về.

Bước 1 — Dựng ánh xạ phủ. Cho $p: \mathbb{R} \to S^1$ là $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$, một toàn ánh liên tục mà mỗi điểm của $S^1$ có một lân cận được phủ đều (nghịch ảnh của một cung nhỏ qua $p$ là hợp rời của các khoảng mở trong $\mathbb{R}$, mỗi khoảng ánh xạ đồng phôi lên cung đó). Cố định điểm gốc $1 = p(0) \in S^1$.

Bước 2 — Nâng đường đi. Với bất kỳ vòng $\gamma: [0,1] \to S^1$ nào với $\gamma(0)=\gamma(1)=1$, tồn tại duy nhất một nâng liên tục $\tilde\gamma: [0,1] \to \mathbb{R}$ với $p \circ \tilde\gamma = \gamma$ và $\tilde\gamma(0) = 0$ (dựng nó bằng cách phủ $[0,1]$ bằng hữu hạn khoảng con mà trên đó $\gamma$ nằm trong một lân cận phủ đều, rồi nâng từng mảnh, mỗi lần chọn nhánh của $p^{-1}$ tiếp nối từ điểm cuối trước). Định nghĩa $\deg(\gamma) = \tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$ (một số nguyên vì $p(\tilde\gamma(1)) = \gamma(1) = 1 = p(0)$ buộc $\tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$).

Bước 3 — Bất biến đồng luân. Nếu $\gamma \simeq_p \gamma'$ qua đồng luân $H$, tính chất nâng đồng luân (chứng minh cùng cách với nâng đường đi, từng dải một) cho một nâng liên tục $\tilde H$ với $\tilde H(s,0)=\tilde\gamma(s)$, và $\tilde H(0,t)=0$ với mọi $t$ (hằng, vì nó nâng vòng gốc hằng). Khi đó $t \mapsto \tilde H(1,t)$ là hàm liên tục nhận giá trị nguyên theo $t$ (theo cùng lập luận Bước 2), nên là hằng số; vậy $\deg(\gamma) = \tilde H(1,0) = \tilde H(1,1) = \deg(\gamma')$. Vậy $\deg$ xác định tốt trên các lớp đồng luân $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$.

Bước 4 — Tính chất đồng cấu. Với các vòng $\gamma, \delta$, nâng $\gamma * \delta$ bằng cách nâng $\gamma$ trước kết thúc tại $\deg(\gamma)$, rồi nâng $\delta$ bắt đầu từ $\deg(\gamma)$ (một bản dịch chuyển của nâng $\delta$, hợp lệ vì $p$ bất biến dưới tịnh tiến nguyên) cho thấy $\deg(\gamma * \delta) = \deg(\gamma) + \deg(\delta)$. Vậy $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ là một đồng cấu nhóm $\pi_1(S^1,1) \to \mathbb{Z}$.

Bước 5 — Tính song ánh. Toàn ánh: với mọi $n \in \mathbb{Z}$, $\gamma_n(s) = p(ns)$ là một vòng với $\deg(\gamma_n)=n$. Đơn ánh: nếu $\deg(\gamma)=0$, nâng $\tilde\gamma$ là một vòng trong $\mathbb{R}$ gốc tại $0$ (vì $\tilde\gamma(1)=0=\tilde\gamma(0)$); $\mathbb{R}$ lồi nên đồng luân đường thẳng $\tilde H(s,t) = (1-t)\tilde\gamma(s)$ co $\tilde\gamma$ về đường hằng tại $0$ với điểm đầu-cuối cố định, và hợp với $p$ cho một đồng luân đường đi từ $\gamma$ tới vòng hằng, nên $[\gamma]$ tầm thường. Vậy $\deg$ là một đồng cấu song ánh, tức một đẳng cấu $\pi_1(S^1,1) \cong \mathbb{Z}$.

Nó đảm bảo nghiệm trong một phạm vi đáng kinh ngạc các bối cảnh (cân bằng Nash, phương trình vi phân, cân bằng kinh tế) chỉ từ hình dạng của $D^2$, không cần công thức nào cho $f$ — và chứng minh là một ví dụ đẹp về việc chuyển một câu hỏi giải tích khó thành một câu hỏi đại số dễ về $\pi_1$.

Bước 1 — Giả sử phản chứng $f$ không có điểm bất động. Khi đó $f(x) \ne x$ với mọi $x \in D^2$, nên tia từ $f(x)$ qua $x$ được xác định tốt; cho $r(x) \in S^1 = \partial D^2$ là điểm mà tia này thoát khỏi đĩa. Vì $f(x) \ne x$ biến thiên liên tục và không bao giờ triệt tiêu, $r: D^2 \to S^1$ liên tục.

Bước 2 — $r$ là một rút gọn (retraction). Với $x \in S^1$ đã ở trên biên, tia từ $f(x)$ qua $x$ thoát ra đúng tại $x$ (vì $x$ đã ở trên biên và tia chỉ cắt biên một lần khi đi ra ngoài từ bên trong), nên $r(x) = x$ với mọi $x \in S^1$. Vậy $r: D^2 \to S^1$ là một rút gọn: một ánh xạ liên tục giữ nguyên từng điểm của không gian con $S^1$.

Bước 3 — Rút gọn là không thể: áp dụng hàm tử $\pi_1$. Cho $i: S^1 \hookrightarrow D^2$ là phép nhúng. Vì $r \circ i = \mathrm{id}_{S^1}$ (theo định nghĩa rút gọn), áp dụng hàm tử nhóm cơ bản cho $\pi_1(r) \circ \pi_1(i) = \pi_1(\mathrm{id}_{S^1}) = \mathrm{id}_{\pi_1(S^1)}$ ở mức nhóm (tính hàm tử: $\pi_1$ biến hợp thành các ánh xạ liên tục thành hợp thành các đồng cấu). Nhưng $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ trong khi $\pi_1(D^2)$ tầm thường (mọi vòng trong đĩa lồi co lại nhờ đồng luân đường thẳng), nên $\pi_1(i): \mathbb{Z} \to \{e\}$ và $\pi_1(r): \{e\} \to \mathbb{Z}$ hợp thành ánh xạ không, không thể bằng đồng nhất trên $\mathbb{Z}$ (một nhóm không tầm thường) — mâu thuẫn.

Bước 4 — Kết luận. Mâu thuẫn ở Bước 3 cho thấy không thể tồn tại rút gọn $r$ như vậy, nên giả thiết ở Bước 1 ($f$ không có điểm bất động) phải sai. Vậy mọi $f: D^2 \to D^2$ liên tục đều có điểm bất động.

Đây là công cụ tính toán chính của lĩnh vực này: nó cho phép xây dựng nhóm cơ bản của một không gian phức tạp từ các nhóm cơ bản (thường đơn giản hơn nhiều) của các mảnh chồng lấp, chính xác là cách nhóm tự do $F_2$ cho hình số tám được tính (hai đường tròn chồng lấp tại một điểm).

Chứng minh đầy đủ đòi hỏi ghi chép tổ hợp cẩn thận; đây là dàn ý cấu trúc. Bước 1 — Phần tử sinh. Bất kỳ vòng $\gamma$ nào trong $X$ gốc tại $x_0$ đều có thể chia thành hữu hạn đường con, mỗi đường nằm hoàn toàn trong $U$ hoặc hoàn toàn trong $V$ (dùng lập luận số Lebesgue trên phủ mở $\{\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)\}$ của đoạn compact $[0,1]$), nên $[\gamma]$ có thể viết thành tích các vòng mỗi vòng đại diện một phần tử của $\pi_1(U,x_0)$ hoặc $\pi_1(V,x_0)$ (sau khi nối các điểm cuối đường con về $x_0$ qua các đường đã chọn trong $U \cap V$, vốn liên thông đường). Điều này cho thấy $\pi_1(X,x_0)$ được sinh bởi ảnh của $\pi_1(U,x_0)$ và $\pi_1(V,x_0)$.

Bước 2 — Quan hệ. Bất kỳ vòng $\delta$ nào nằm trong $U \cap V$ biểu diễn, tiên nghiệm, hai phần tử có thể khác nhau: $i_U(\delta) \in \pi_1(U,x_0)$ (nhìn $\delta$ như vòng trong $U$) và $i_V(\delta) \in \pi_1(V,x_0)$ (nhìn nó như vòng trong $V$). Vì $\delta$ đúng là cùng một vòng trong $X$, ảnh của nó qua $\pi_1(U) \to \pi_1(X)$ và $\pi_1(V) \to \pi_1(X)$ phải khớp nhau; điều này buộc chính xác các quan hệ hỗn hợp $i_U(\delta) = i_V(\delta)$ với mọi $[\delta] \in \pi_1(U \cap V, x_0)$.

Bước 3 — Không còn quan hệ nào khác. Một lập luận tinh tế hơn (chia đồng luân $H: [0,1]\times[0,1] \to X$ theo cùng cách, dùng tính compact của hình vuông để có một lưới hữu hạn mà mỗi ô nằm trong $U$ hoặc $V$) cho thấy các quan hệ hỗn hợp này là duy nhất các quan hệ cần thiết: hai từ bất kỳ trong các phần tử sinh biểu diễn cùng một phần tử của $\pi_1(X,x_0)$ có thể liên hệ bằng một dãy hữu hạn các bước, mỗi bước được biện minh bởi một quan hệ hỗn hợp. Điều này đồng nhất $\pi_1(X,x_0)$ chính xác với tích tự do hỗn hợp.