Định lý chuỗi hình học

Bước 1 (viết tổng riêng dưới dạng đóng). Nhân $S_N$ với $r$: $S_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^n$ và $rS_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^{n+1}=\sum_{n=1}^{N}ar^n$. Trừ đi, hầu hết các số hạng triệt tiêu: $S_N-rS_N=a-ar^N$, nên $(1-r)S_N=a(1-r^N)$.

Bước 2 (giải tìm tổng riêng). Nếu $r\neq1$ thì ta được $S_N=a\dfrac{1-r^N}{1-r}$, một công thức chính xác, hữu hạn với mọi $n$ — chưa hề lấy giới hạn.

Bước 3 (lấy giới hạn). Nếu $|r|<1$, thì $r^N\to0$ khi $N\to\infty$ (một lũy thừa với cơ số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn $1$ co về không), nên $S_N\to a\dfrac{1-0}{1-r}=\dfrac{a}{1-r}$, đúng là $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$.

Bước 4 (chiều ngược lại: phân kỳ). Nếu $|r|\ge1$ và $r\neq1$, thì $r^N$ không tiến tới giới hạn hữu hạn nào (nó dao động hoặc tăng không giới hạn), nên $S_N$ không có giới hạn và chuỗi phân kỳ; nếu $r=1$ thì $S_N$ bằng $Na$, phân kỳ ra vô cực vì $a$ khác không. Điều này bao trùm mọi trường hợp, chứng minh mệnh đề 'khi và chỉ khi'.