Giải tích

Chuỗi số và tiêu chuẩn hội tụ

Tổng vô hạn các số và các tiêu chuẩn xác định liệu chúng có cộng lại thành giá trị hữu hạn hay không.

Trực giácTrực giác: cộng vô hạn số hạng

Đi nửa quãng đường tới một bức tường, rồi lại đi nửa quãng đường còn lại, rồi lại nửa quãng đường còn lại, mãi mãi: các quãng đường bạn đi được là $1/2$ , $1/4$ , $1/8,\dots$ , và dù bạn thực hiện vô hạn bước, tổng quãng đường không bao giờ vượt quá chiều rộng căn phòng — nó tiến gần đúng tới $1$ (theo đơn vị chiều rộng phòng). Một chuỗi số chính là ý tưởng này được làm chặt chẽ: một tổng vô hạn $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ các số, và câu hỏi trung tâm là liệu tổng đó có tiến tới một giá trị hữu hạn hay tăng không giới hạn.

Hãy hình dung mỗi số hạng của chuỗi điều hòa

1,\ 1/2,\ 1/3,\dots,\ 1/n

như chiều cao của một cột có chiều rộng

1

: các cột hiển thị ở đây với

n

lên tới 12 tích lũy thành tổng riêng

S_n

, và việc so sánh tổng diện tích của chúng với diện tích dưới đường cong

y=1/x

chính là ý tưởng hình học đứng sau tiêu chuẩn tích phân.

Đại họcĐịnh nghĩa: chuỗi số và tổng riêng

Định nghĩa: Chuỗi số và sự hội tụ

Cho một dãy số thực $a_n$ , tổng riêng thứ $n$ là $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ , tổng của $n$ số hạng đầu tiên. Chuỗi vô hạn $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ được gọi là hội tụ nếu dãy tổng riêng $S_N$ có giới hạn hữu hạn khi $N\to\infty$ ; ngược lại chuỗi phân kỳ.

S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n

Ở đây $a_n$ ký hiệu số hạng tổng quát của chuỗi (một hàm theo chỉ số $n$ ), và $S_N$ là một tổng thông thường, hữu hạn với mọi $n$ cố định — nó chỉ trở thành vô hạn khi lấy giới hạn. Đây là bước nhảy khái niệm then chốt: một chuỗi vô hạn tự nó không phải là một phép cộng theo nghĩa thông thường, mà là giới hạn của một dãy các tổng hữu hạn thông thường.

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N

Một điều kiện cần (nhưng không đủ) cho sự hội tụ suy ra ngay: nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ hội tụ thì $a_n \to 0$ , vì các tổng riêng liên tiếp $S_N$ phải tiến gần nhau tùy ý. Từ 'cần' rất quan trọng — như phần lưu ý sai lầm bên dưới cho thấy, chỉ riêng $a_n \to 0$ không bao giờ đảm bảo sự hội tụ.

Đại họcCác tiêu chuẩn hội tụ chuẩn

Kiểm tra trực tiếp định nghĩa hội tụ, thông qua giới hạn của $S_N$ , thường không thể thực hiện dưới dạng đóng. Thay vào đó, các nhà toán học đã phát triển một bộ công cụ gồm các tiêu chuẩn quyết định sự hội tụ chỉ dựa vào dạng của $a_n$ , được tóm tắt dưới đây.

So sánh các tiêu chuẩn hội tụ chuẩn
Tiêu chuẩn	Điều kiện	Ví dụ
Chuỗi hình học	Hội tụ khi và chỉ khi $\|r\|<1$	$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$
Chuỗi p	Hội tụ khi và chỉ khi $p>1$	$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}$
Tiêu chuẩn tỉ số	Hội tụ nếu $L<1$ , phân kỳ nếu $L>1$	$L=\lim_{n\to\infty}\left\|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\|$
Tiêu chuẩn căn thức	Hội tụ nếu $L<1$ , phân kỳ nếu $L>1$	$L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}$
Leibniz (đan dấu)	Hội tụ nếu $a_n \ge a_{n+1} \ge 0,\ a_n\to0$	$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$

Tiêu chuẩn tỉ số so sánh trực tiếp các số hạng liên tiếp: tính $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ ; nếu $L<1$ chuỗi hội tụ tuyệt đối, nếu $L>1$ chuỗi phân kỳ, và nếu $L$ bằng $1$ tiêu chuẩn không kết luận được. Nó hiệu quả nhất khi $a_n$ chứa giai thừa hoặc lũy thừa bậc $n$ , vì các đại lượng đó rút gọn tốt trong một tỉ số.

Tiêu chuẩn căn thức dùng $L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ thay vào đó, với cùng quy tắc quyết định ( $L<1$ hội tụ, $L>1$ phân kỳ); nó hiệu quả nhất khi bản thân $a_n$ là một lũy thừa bậc $n$ . Tiêu chuẩn Leibniz xử lý trực tiếp các chuỗi đan dấu $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$ : nếu các số hạng dương $a_n$ giảm đơn điệu về $0$ , chuỗi hội tụ ngay cả khi nó không hội tụ tuyệt đối, như trường hợp chuỗi điều hòa đan dấu.

Đại họcĐịnh lý then chốt: chuỗi hình học và tiêu chuẩn tích phân

Định lý: Định lý chuỗi hình học

Với các số thực $a$ và $r$ mà $a$ khác không, chuỗi hình học $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ hội tụ khi và chỉ khi $|r|<1$ , và khi đó $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$ .

Vì sao đúng?

Chuỗi hình học là chuỗi duy nhất mà tổng riêng của nó có thể viết dưới dạng đóng, nên nó vừa là tiêu chuẩn hội tụ đơn giản nhất có thể, vừa là thước đo mà nhiều tiêu chuẩn khác (tỉ số, căn thức, so sánh) được hiệu chỉnh theo: chúng đều hoạt động bằng cách so sánh một chuỗi tổng quát với một chuỗi hình học.

Chứng minh

Bước 1 (viết tổng riêng dưới dạng đóng). Nhân $S_N$ với $r$ : $S_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^n$ và $rS_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^{n+1}=\sum_{n=1}^{N}ar^n$ . Trừ đi, hầu hết các số hạng triệt tiêu: $S_N-rS_N=a-ar^N$ , nên $(1-r)S_N=a(1-r^N)$ .

Bước 2 (giải tìm tổng riêng). Nếu $r\neq1$ thì ta được $S_N=a\dfrac{1-r^N}{1-r}$ , một công thức chính xác, hữu hạn với mọi $n$ — chưa hề lấy giới hạn.

Bước 3 (lấy giới hạn). Nếu $|r|<1$ , thì $r^N\to0$ khi $N\to\infty$ (một lũy thừa với cơ số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn $1$ co về không), nên $S_N\to a\dfrac{1-0}{1-r}=\dfrac{a}{1-r}$ , đúng là $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$ .

Bước 4 (chiều ngược lại: phân kỳ). Nếu $|r|\ge1$ và $r\neq1$ , thì $r^N$ không tiến tới giới hạn hữu hạn nào (nó dao động hoặc tăng không giới hạn), nên $S_N$ không có giới hạn và chuỗi phân kỳ; nếu $r=1$ thì $S_N$ bằng $Na$ , phân kỳ ra vô cực vì $a$ khác không. Điều này bao trùm mọi trường hợp, chứng minh mệnh đề 'khi và chỉ khi'.

Định lý: Tiêu chuẩn tích phân

Cho $f(x)$ là một hàm dương, giảm, liên tục trên $[1,\infty)$ với $a_n$ bằng $f(n)$ với mọi số nguyên $n$ . Khi đó chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ hội tụ khi và chỉ khi tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ hội tụ.

Vì sao đúng?

Nhiều chuỗi, chẳng hạn chuỗi $p$ , không có tổng riêng dạng đóng, nên việc tính giới hạn trực tiếp là bất khả thi; nhưng nếu các số hạng đến từ một hàm trơn giảm dần, tổng rời rạc và tích phân liên tục bám sát nhau, và tích phân thường dễ tính hoặc dễ chặn hơn nhiều.

Chứng minh

Bước 1 (chặn mỗi số hạng bằng một dải của tích phân). Vì $f(x)$ giảm, với mọi số nguyên $n\ge1$ và $x\in[n,n+1]$ ta có $f(n+1)\le f(x)\le f(n)$ . Lấy tích phân trên khoảng đơn vị đó cho $f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)$ .

Bước 2 (cộng các chặn). Cộng bất đẳng thức bên phải với $n=1,\dots,N$ cho $\int_1^{N+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=1}^{N}a_n=S_N$ ; cộng bất đẳng thức bên trái với $n=1,\dots,N-1$ cho $S_N-a_1\le\int_1^{N}f(x)\,dx$ . Vậy tổng riêng $S_N$ bị kẹp giữa hai tích phân trên các khoảng đều tăng như $[1,N]$ .

Bước 3 (sự hội tụ truyền theo một chiều). Nếu $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ hội tụ, thì $\int_1^{N}f(x)\,dx$ bị chặn trên khi $N\to\infty$ , nên theo Bước 2 dãy tăng $S_N$ bị chặn trên, và một dãy số thực tăng bị chặn luôn hội tụ (một dạng của tính chất hội tụ đơn điệu của $\mathbb{R}$ ); do đó $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ hội tụ.

Bước 4 (sự phân kỳ truyền theo chiều ngược lại). Ngược lại, nếu $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ phân kỳ (tăng không giới hạn), thì $\int_1^{N+1}f(x)\,dx\to\infty$ khi $N\to\infty$ , và theo bất đẳng thức đầu ở Bước 2, $S_N$ bị chặn dưới bởi một đại lượng tiến tới vô cực, nên $S_N$ cũng phân kỳ ra vô cực. Kết hợp Bước 3 và 4 cho mệnh đề 'khi và chỉ khi' đầy đủ.

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Các chuỗi có tổng dạng đóng là trụ cột của toán tài chính: giá trị hiện tại của một niên kim vĩnh viễn hay lịch trả góp của một khoản vay là một chuỗi hình học. Trong khoa học máy tính, thời gian chạy của các thuật toán chia để trị và việc phân tích các cấu trúc dữ liệu đệ quy thường quy về việc chặn một chuỗi. Trong vật lý, các dao động tắt dần và sự suy giảm của các tiếng vọng liên tiếp trong một khoang cộng hưởng tạo thành chuỗi hình học, và các hệ số Taylor, Fourier trong xử lý tín hiệu được đánh giá chính bằng các tiêu chuẩn đã giới thiệu ở trên (tiêu chuẩn tỉ số cho bán kính hội tụ, so sánh với chuỗi p cho tốc độ suy giảm). Trong sinh học, các mô hình quần thể rời rạc với tốc độ tăng hoặc giảm không đổi mỗi thế hệ chính là các chuỗi hình học.

Ví dụ: Giá trị hiện tại của một niên kim vĩnh viễn

Một khoản đầu tư trả $100$ vào cuối mỗi năm, mãi mãi, và tỉ lệ chiết khấu hàng năm là $10\%$ , nên một khoản trả sau $n$ năm kể từ bây giờ có giá trị hôm nay là $100(1.1)^{-n}$ (mọi số tiền cùng một đơn vị tiền tệ). Tính tổng giá trị hiện tại của tất cả các khoản trả trong tương lai.

Lời giải

Bước 1: viết tổng giá trị hiện tại dưới dạng một chuỗi. Cộng các khoản trả đã chiết khấu với $n=1,2,3,\dots$ ta được $V=\sum_{n=1}^{\infty}100(1.1)^{-n}$ .

Bước 2: nhận ra chuỗi hình học. Đây là $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ với $a=100/1.1$ và $r=1/1.1$ (đánh lại chỉ số để bắt đầu từ $n=0$ ), và $|r|=1/1.1<1$ , nên định lý áp dụng được.

Bước 3: áp dụng công thức tổng dạng đóng. Dùng $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$ ta được $V=\dfrac{100/1.1}{1-1/1.1}=\dfrac{100/1.1}{0.1/1.1}=\dfrac{100}{0.1}=1000$ .

Bước 4: diễn giải. Niên kim vĩnh viễn có giá trị đúng bằng $1000$ hôm nay, dù nó trả mãi mãi — một minh chứng thực tế trực tiếp về một chuỗi vô hạn cộng thành một giá trị hữu hạn.

Ví dụ: Tiêu chuẩn tỉ số cho một chuỗi giai thừa

Xác định chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ có hội tụ hay không, dùng tiêu chuẩn tỉ số.

Lời giải

Bước 1: viết $a_n=\dfrac{2^n}{n!}$ và $a_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}$ .

Bước 2: lập tỉ số. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{2^n}=\dfrac{2}{n+1}$ , dùng $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ .

Bước 3: lấy giới hạn $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ : ở đây $L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0$ .

Bước 4: kết luận. Vì $L=0<1$ , tiêu chuẩn tỉ số đảm bảo chuỗi hội tụ (thực ra hội tụ tuyệt đối) — giai thừa ở mẫu số cuối cùng áp đảo bất kỳ lũy thừa cố định nào ở tử số.

Với $|r|<1$ , chuỗi hình học $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ hội tụ về giá trị nào?

Với chuỗi $p$ $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}$ , chuỗi hội tụ với những giá trị nào của $p$ ?

Một chuỗi có các số hạng thỏa $a_n \to 0$ . Có thể kết luận gì về việc chuỗi có hội tụ hay không?

Một tài khoản ngân hàng trả lãi suất danh nghĩa cố định, và một nhà phân tích mô hình hóa giá trị hiện tại của một dòng tiền tương lai bằng nhau kéo dài vô hạn định. Họ đang ngầm cộng đối tượng toán học nào?