Định lý Goldbach tam phân (Vinogradov 1937, Helfgott 2013)

Chứng minh đi theo đúng phương pháp vòng tròn đã phác thảo trước đó trong nhánh lý thuyết số này, áp dụng cho tổng mũ có trọng số von Mangoldt $F(\alpha)=\sum_{p\le n}\log p\; e(p\alpha)$, với số cách biểu diễn có trọng số bởi $\int_0^1 F(\alpha)^3 e(-n\alpha)\,d\alpha$.

Trên các cung lớn (khoảng ngắn quanh các số hữu tỉ $a/q$ với $q$ nhỏ), định lý Siegel–Walfisz về số nguyên tố trong cấp số cộng — đều với môđun $q$ tới bất kỳ luỹ thừa cố định nào của $\log n$ — cho phép tính tích phân ở đó một cách tường minh, cho ra số hạng chính $\tfrac12\mathfrak S(n)\,n^2$ trong đó $\mathfrak S(n)$, "chuỗi kỳ dị," là tích các mật độ địa phương, mỗi số nguyên tố một mật độ, đo tần suất $n$ giải được dưới dạng $p_1+p_2+p_3$ theo môđun số nguyên tố đó. Với $n$ lẻ, mọi điều kiện địa phương đều giải được (không có chướng ngại nào tương tự chướng ngại chẵn lẻ gây khó khăn cho trường hợp nhị phân), nên $\mathfrak S(n)$ bị chặn xa khỏi $0$, và số hạng chính thực sự dương và có kích thước $n^2$.

Trên các cung nhỏ, ước lượng tổng mũ của Vinogradov cho số nguyên tố — một cận rất không tầm thường $|F(\alpha)|\ll n(\log n)^4/q^{1/2}$ đúng ở đó — cho thấy đóng góp là $o(n^2)$, nhỏ hơn hẳn số hạng chính, nên không thể triệt tiêu đóng góp dương từ các cung lớn. Kết hợp cả hai cho ra số cách biểu diễn dương khi $n$ đủ lớn, đó chính là định lý năm 1937 của Vinogradov.

Việc Helfgott hoàn tất năm 2013 làm cho mọi bước trên trở nên hoàn toàn tường minh thay vì chỉ "đủ lớn": các ước lượng cung lớn và cung nhỏ sắc hơn (bao gồm các cận tường minh, được máy tính kiểm chứng, cho không điểm của hàm $L$ Dirichlet tới một độ cao cụ thể) đã lấp đầy khoảng trống giữa ngưỡng tường minh nơi lập luận giải tích hoạt động và phạm vi đã được kiểm tra trực tiếp bằng máy tính, cho ra một chứng minh không điều kiện cho đúng nghĩa mọi số lẻ $n>5$.