Đồng nhất thức Beltrami

Đặt $H(x) = L(y,y') - y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ tính dọc theo một cực trị $y(x)$, và lấy đạo hàm theo $x$ bằng quy tắc dây chuyền: $\frac{dH}{dx} = \frac{\partial L}{\partial y} y' + \frac{\partial L}{\partial y'} y'' - y''\,\frac{\partial L}{\partial y'} - y'\,\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}$.

Hai số hạng chứa $y''$ triệt tiêu chính xác, còn lại $\frac{dH}{dx} = y'\left( \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right)$.

Nhưng $y(x)$ là một cực trị, nên theo phương trình Euler–Lagrange thừa số trong ngoặc đồng nhất bằng không dọc theo $y$. Do đó $\frac{dH}{dx}=0$ trên toàn khoảng, nghĩa là $H(x)=L-y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ là hằng số, chứng minh khẳng định.