Giải tích biến phân

Điều này giống với việc cho đạo hàm thông thường bằng không tại một cực tiểu, nhưng ở đây 'hướng' mà ta nhiễu loạn không phải một con số mà là cả một biến phân khả dĩ của đường cong. Yêu cầu độ biến thiên bậc nhất triệt tiêu với mọi biến phân như vậy buộc phải có sự cân bằng tại từng điểm giữa sự phụ thuộc trực tiếp vào $y$ của $L$ và sự phụ thuộc vào $y'$, được mã hóa chính xác bởi phương trình này.

Cố định một hàm trơn tùy ý $\eta(x)$ với $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$, và xét họ một tham số các đường cạnh tranh $y_\epsilon(x) = y(x) + \epsilon\,\eta(x)$, tất cả đều có cùng giá trị đầu mút với $y$. Đặt $\phi(\epsilon) = J[y_\epsilon]$; vì $y$ được giả sử làm cực trị $J$, hàm số thông thường $\phi$ có điểm tới hạn tại $\epsilon=0$, nên $\phi'(0)=0$.

Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, $\phi'(\epsilon) = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx$, trong đó các đạo hàm riêng của $L$ được tính dọc theo $y_\epsilon$. Cho $\epsilon=0$ ta được $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx = 0$.

Lấy tích phân từng phần số hạng thứ hai: $\int_{x_0}^{x_1} \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta'\,dx = \left[ \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta \right]_{x_0}^{x_1} - \int_{x_0}^{x_1} \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta\,dx$. Số hạng biên triệt tiêu vì $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$, còn lại $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right] \eta\,dx = 0$.

Tích phân này triệt tiêu với mọi $\eta$ khả dĩ. Theo bổ đề cơ bản của giải tích biến phân — nếu một hàm liên tục lấy tích phân bằng không với mọi hàm thử như vậy thì bản thân hàm đó phải đồng nhất bằng không — đại lượng trong ngoặc triệt tiêu tại mọi $x$, đó chính xác là $\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0$.

Đây là một đại lượng bảo toàn, hoàn toàn tương tự bảo toàn năng lượng: khi 'luật chơi' $L$ không đổi khi ta trượt dọc theo $x$, một tổ hợp cụ thể của $L$ và $y'$ được giữ cố định. Nó cho một phương trình cấp một thay cho phương trình Euler–Lagrange cấp hai, vốn thường dễ giải trực tiếp hơn nhiều.

Đặt $H(x) = L(y,y') - y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ tính dọc theo một cực trị $y(x)$, và lấy đạo hàm theo $x$ bằng quy tắc dây chuyền: $\frac{dH}{dx} = \frac{\partial L}{\partial y} y' + \frac{\partial L}{\partial y'} y'' - y''\,\frac{\partial L}{\partial y'} - y'\,\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}$.

Hai số hạng chứa $y''$ triệt tiêu chính xác, còn lại $\frac{dH}{dx} = y'\left( \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right)$.

Nhưng $y(x)$ là một cực trị, nên theo phương trình Euler–Lagrange thừa số trong ngoặc đồng nhất bằng không dọc theo $y$. Do đó $\frac{dH}{dx}=0$ trên toàn khoảng, nghĩa là $H(x)=L-y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ là hằng số, chứng minh khẳng định.