Phương trình Euler–Lagrange

Cố định một hàm trơn tùy ý $\eta(x)$ với $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$, và xét họ một tham số các đường cạnh tranh $y_\epsilon(x) = y(x) + \epsilon\,\eta(x)$, tất cả đều có cùng giá trị đầu mút với $y$. Đặt $\phi(\epsilon) = J[y_\epsilon]$; vì $y$ được giả sử làm cực trị $J$, hàm số thông thường $\phi$ có điểm tới hạn tại $\epsilon=0$, nên $\phi'(0)=0$.

Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, $\phi'(\epsilon) = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx$, trong đó các đạo hàm riêng của $L$ được tính dọc theo $y_\epsilon$. Cho $\epsilon=0$ ta được $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx = 0$.

Lấy tích phân từng phần số hạng thứ hai: $\int_{x_0}^{x_1} \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta'\,dx = \left[ \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta \right]_{x_0}^{x_1} - \int_{x_0}^{x_1} \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta\,dx$. Số hạng biên triệt tiêu vì $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$, còn lại $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right] \eta\,dx = 0$.

Tích phân này triệt tiêu với mọi $\eta$ khả dĩ. Theo bổ đề cơ bản của giải tích biến phân — nếu một hàm liên tục lấy tích phân bằng không với mọi hàm thử như vậy thì bản thân hàm đó phải đồng nhất bằng không — đại lượng trong ngoặc triệt tiêu tại mọi $x$, đó chính xác là $\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0$.