Định lý divergence (định lý Gauss)

Trước hết chứng minh cho hộp chữ nhật $B = [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3]$ với $V = B$, trong đó $\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)$. Theo định lý Fubini, $\iiint_B \frac{\partial F_1}{\partial x}\,dV = \iint \left(F_1(b_1,y,z) - F_1(a_1,y,z)\right) dy\,dz$, và các đẳng thức tương tự đúng cho các số hạng đạo hàm theo $y$ và $z$.

Mỗi vế phải chính xác là thông lượng ra ngoài của thành phần tương ứng của $\mathbf{F}$ qua một cặp mặt đối diện của $B$, với pháp tuyến ngoài hướng theo chiều dương hoặc âm của trục tọa độ trên mỗi mặt. Cộng ba đóng góp theo các trục tọa độ cho ta $\iiint_B (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \iint_{\partial B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$.

Với một miền khối $V$ tổng quát, xấp xỉ nó bằng một lưới mịn gồm các hộp chữ nhật nhỏ lấp đầy $V$. Áp dụng trường hợp hộp cho từng hộp rồi cộng lại trên mọi hộp. Mỗi mặt trong được chia sẻ bởi hai hộp liền kề có pháp tuyến ngoài hướng ngược chiều nhau ở hai phía, nên các đóng góp thông lượng tương ứng qua mặt chung đó triệt tiêu nhau hoàn toàn.

Thông lượng còn lại sau khi triệt tiêu chính xác là qua mặt biên ngoài $\partial V$, trong khi tổng các tích phân thể tích trên các hộp nhỏ hội tụ về $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV$ khi lưới mịn dần, thiết lập đẳng thức cho $V$.