Định lý Green

Trước hết chứng minh cho hình chữ nhật $R = [a,b]\times[c,d]$ với $D = R$. Theo định lý Fubini, $\iint_R \frac{\partial Q}{\partial x}\,dA = \int_c^d \left(Q(b,y) - Q(a,y)\right) dy$ và $\iint_R \frac{\partial P}{\partial y}\,dA = \int_a^b \left(P(x,d) - P(x,c)\right) dx$.

Đây chính xác là các tích phân đường của $Q\,dy$ dọc cạnh phải và cạnh trái của $R$ và của $P\,dx$ dọc cạnh trên và cạnh dưới, nên $\iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA = \oint_{\partial R} (P\,dx + Q\,dy)$, khớp với định lý cho hình chữ nhật.

Với một miền $D$ tổng quát, xấp xỉ nó bằng một lưới mịn gồm các hình chữ nhật nhỏ phủ $D$. Áp dụng trường hợp hình chữ nhật cho từng mảnh nhỏ rồi cộng lại trên mọi mảnh. Mỗi cạnh trong được chia sẻ bởi hai mảnh liền kề bị đi qua một lần theo mỗi hướng bởi biên của hai mảnh đó, nên hai đóng góp tích phân đường dọc cạnh chung ấy triệt tiêu nhau hoàn toàn.

Phần còn lại sau khi triệt tiêu chính xác là tích phân đường quanh biên ngoài $\partial D$, trong khi tổng các tích phân kép trên các hình chữ nhật nhỏ hội tụ về $\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$ khi lưới mịn dần, chứng minh đẳng thức cho $D$.