MathLabs

Giải tích

Giải tích vectơ

Đạo hàm và tích phân của trường vectơ: div, curl, và các định lý tích phân liên kết chúng.

Trực giácTrường vừa xoáy vừa lan: trực giác về div và curl

Hãy hình dung vận tốc của dòng nước chảy tại mọi điểm trong không gian: đó chính là một trường vectơ F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z), một mũi tên gắn tại mỗi điểm cho biết hướng và tốc độ dòng chảy ở đó. Hai câu hỏi đơn giản về F\mathbf{F} hóa ra chi phối gần như mọi thứ trong điện từ học và động lực học chất lỏng: dòng chảy có lan ra từ một điểm như nước phun trào từ nguồn, hay nó xoáy quanh một trục như xoáy nước? Xu hướng thứ nhất được đo bằng div ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}, một đại lượng vô hướng cho biết tốc độ dòng chảy được sinh ra (dương) hay mất đi (âm) tại mỗi điểm; xu hướng thứ hai được đo bằng curl ∇×F\nabla \times \mathbf{F}, một vectơ hướng dọc theo trục quay cục bộ, có độ dài bằng tốc độ xoáy.

Đồ thị 3D tương tác của một mặt thế vị vô hướng hình yên ngựa, dùng để minh họa một trường vectơ gradient có div và curl đều bằng không.
Một thế vị hình yên ngựa φ(x,y)=x2−y2\varphi(x,y) = x^2 - y^2: trường gradient của nó F=∇φ=(2x,−2y)\mathbf{F} = \nabla \varphi = (2x, -2y) có div bằng 00 và curl bằng 00 tại mọi điểm, một trường hợp đặc biệt "điều hòa" mà dòng chảy không lan ra cũng không xoáy, chỉ đổi hướng theo độ dốc của yên ngựa.

Đại họcĐịnh nghĩa chặt chẽ: div, curl, và các định lý tích phân biên

Định nghĩa: Div của trường vectơ

Với một trường vectơ khả vi F=(F1,F2,F3)\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3) trên R3\mathbb{R}^3, div ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F} là hàm vô hướng đo thông lượng ra ròng trên một đơn vị thể tích tại mỗi điểm: về mặt trực giác, div⁡F(p)>0\operatorname{div}\mathbf{F}(p) > 0 nghĩa là một quả cầu vô cùng nhỏ quanh pp là nguồn sinh dòng chảy ròng, còn div⁡F(p)<0\operatorname{div}\mathbf{F}(p) < 0 nghĩa là nó là nơi hút dòng chảy ròng.

∇⋅F=∂F1∂x+∂F2∂y+∂F3∂z\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}

Curl ∇×F\nabla \times \mathbf{F} thay vào đó đo độ xoáy: nếu bạn nhúng một guồng quạt nhỏ vào dòng chảy tại một điểm và định hướng trục của nó dọc theo ∇×F(p)\nabla \times \mathbf{F}(p), guồng quạt quay nhanh nhất, với tốc độ góc tỉ lệ với ∣∇×F(p)∣|\nabla \times \mathbf{F}(p)|. Một trường có ∇×F=0\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} tại mọi điểm được gọi là không xoáy (hay bảo toàn, nếu còn xác định trên một miền đơn liên), và đó chính xác là các trường xuất hiện dưới dạng gradient F=∇φ\mathbf{F} = \nabla \varphi của một thế vị vô hướng φ\varphi.

∇×F=(∂F3∂y−∂F2∂z, ∂F1∂z−∂F3∂x, ∂F2∂x−∂F1∂y)\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\ \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)
Ba định lý tích phân biên của giải tích vectơ
Định lýMiền và biên của nóĐẳng thức tích phân
Định lý GreenMiền phẳng DD, biên là đường cong ∂D\partial D∮∂D(P dx+Q dy)=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dA\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
Định lý StokesMặt cong SS trong không gian, biên là đường cong ∂S\partial S∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
Định lý divergence (Gauss)Miền khối VV trong không gian, biên là mặt ∂V\partial V∬∂VF⋅dS=∭V(∇⋅F) dV\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV

Đại họcCác định lý cốt lõi: Định lý Green và Định lý divergence

Định lý: Định lý Green

Cho D⊂R2D \subset \mathbb{R}^2 là một miền với biên ∂D\partial D định hướng dương, trơn từng khúc, và cho P(x,y)P(x,y), Q(x,y)Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở chứa DD. Khi đó ∮∂D(P dx+Q dy)=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dA\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.

Vì sao đúng?

Vế phải cộng dồn 'mật độ tuần hoàn' cục bộ ∂Q∂x−∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} (curl 2 chiều) trên mọi điểm của DD; các tuần hoàn bên trong của những ô nhỏ liền kề triệt tiêu nhau dọc cạnh chung, chỉ còn lại tuần hoàn dọc biên ngoài ∂D\partial D.

Chứng minh

Trước hết chứng minh cho hình chữ nhật R=[a,b]×[c,d]R = [a,b]\times[c,d] với D=RD = R. Theo định lý Fubini, ∬R∂Q∂x dA=∫cd(Q(b,y)−Q(a,y))dy\iint_R \frac{\partial Q}{\partial x}\,dA = \int_c^d \left(Q(b,y) - Q(a,y)\right) dy và ∬R∂P∂y dA=∫ab(P(x,d)−P(x,c))dx\iint_R \frac{\partial P}{\partial y}\,dA = \int_a^b \left(P(x,d) - P(x,c)\right) dx.

Đây chính xác là các tích phân đường của Q dyQ\,dy dọc cạnh phải và cạnh trái của RR và của P dxP\,dx dọc cạnh trên và cạnh dưới, nên ∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dA=∮∂R(P dx+Q dy)\iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA = \oint_{\partial R} (P\,dx + Q\,dy), khớp với định lý cho hình chữ nhật.

Với một miền DD tổng quát, xấp xỉ nó bằng một lưới mịn gồm các hình chữ nhật nhỏ phủ DD. Áp dụng trường hợp hình chữ nhật cho từng mảnh nhỏ rồi cộng lại trên mọi mảnh. Mỗi cạnh trong được chia sẻ bởi hai mảnh liền kề bị đi qua một lần theo mỗi hướng bởi biên của hai mảnh đó, nên hai đóng góp tích phân đường dọc cạnh chung ấy triệt tiêu nhau hoàn toàn.

Phần còn lại sau khi triệt tiêu chính xác là tích phân đường quanh biên ngoài ∂D\partial D, trong khi tổng các tích phân kép trên các hình chữ nhật nhỏ hội tụ về ∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dA\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA khi lưới mịn dần, chứng minh đẳng thức cho DD.

Định lý: Định lý divergence (định lý Gauss)

Cho V⊂R3V \subset \mathbb{R}^3 là một miền khối với biên là mặt ∂V\partial V định hướng ra ngoài, trơn từng khúc, và cho F\mathbf{F} có đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở chứa VV. Khi đó ∬∂VF⋅dS=∭V(∇⋅F) dV\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV.

Vì sao đúng?

Giống như định lý Green, tích phân thể tích của div cộng dồn 'lưu lượng ra ròng trên một đơn vị thể tích' cục bộ trên mọi hộp nhỏ bên trong VV; lưu lượng qua các mặt chung của các hộp liền kề triệt tiêu nhau, chỉ còn lại thông lượng qua biên ngoài ∂V\partial V.

Chứng minh

Trước hết chứng minh cho hộp chữ nhật B=[a1,b1]×[a2,b2]×[a3,b3]B = [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3] với V=BV = B, trong đó F=(F1,F2,F3)\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3). Theo định lý Fubini, ∭B∂F1∂x dV=∬(F1(b1,y,z)−F1(a1,y,z))dy dz\iiint_B \frac{\partial F_1}{\partial x}\,dV = \iint \left(F_1(b_1,y,z) - F_1(a_1,y,z)\right) dy\,dz, và các đẳng thức tương tự đúng cho các số hạng đạo hàm theo yy và zz.

Mỗi vế phải chính xác là thông lượng ra ngoài của thành phần tương ứng của F\mathbf{F} qua một cặp mặt đối diện của BB, với pháp tuyến ngoài hướng theo chiều dương hoặc âm của trục tọa độ trên mỗi mặt. Cộng ba đóng góp theo các trục tọa độ cho ta ∭B(∇⋅F) dV=∬∂BF⋅dS\iiint_B (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \iint_{\partial B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}.

Với một miền khối VV tổng quát, xấp xỉ nó bằng một lưới mịn gồm các hộp chữ nhật nhỏ lấp đầy VV. Áp dụng trường hợp hộp cho từng hộp rồi cộng lại trên mọi hộp. Mỗi mặt trong được chia sẻ bởi hai hộp liền kề có pháp tuyến ngoài hướng ngược chiều nhau ở hai phía, nên các đóng góp thông lượng tương ứng qua mặt chung đó triệt tiêu nhau hoàn toàn.

Thông lượng còn lại sau khi triệt tiêu chính xác là qua mặt biên ngoài ∂V\partial V, trong khi tổng các tích phân thể tích trên các hộp nhỏ hội tụ về ∭V(∇⋅F) dV\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV khi lưới mịn dần, thiết lập đẳng thức cho VV.

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Div, curl và các định lý tích phân biên là xương sống toán học của lý thuyết trường cổ điển: phương trình Maxwell của điện từ học được phát biểu hoàn toàn bằng ∇⋅E\nabla \cdot \mathbf{E}, ∇⋅B\nabla \cdot \mathbf{B}, ∇×E\nabla \times \mathbf{E}, và ∇×B\nabla \times \mathbf{B}; động lực học chất lỏng dùng định lý divergence để suy ra phương trình liên tục cho bảo toàn khối lượng và đồng nhất dòng chảy không nén được với ∇⋅F=0\nabla \cdot \mathbf{F} = 0; và kỹ thuật hàng không vũ trụ áp dụng định lý Stokes để liên kết tuần hoàn của luồng khí quanh một cánh máy bay (lực nâng) với độ xoáy ∇×F\nabla \times \mathbf{F} bên trong lớp biên.

Ví dụ: Kiểm chứng định lý divergence cho trường xuyên tâm trên mặt cầu

Cho F(x,y,z)=(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z) và cho SS là mặt cầu x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2 bán kính aa, định hướng ra ngoài, bao quanh khối cầu VV. Kiểm chứng định lý divergence ∬SF⋅dS=∭V(∇⋅F) dV\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV bằng cách tính trực tiếp cả hai vế.

Lời giải

Tính vế phải trước: ∇⋅F=∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z=1+1+1=3\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1+1+1 = 3, một hằng số. Vậy ∭V(∇⋅F) dV=3⋅vol⁡(V)=3⋅43πa3=4πa3\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = 3 \cdot \operatorname{vol}(V) = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi a^3.

Bây giờ tính trực tiếp vế trái. Trên mặt cầu SS, pháp tuyến đơn vị ngoài là n=1a(x,y,z)\mathbf{n} = \frac{1}{a}(x,y,z), vì chính vectơ vị trí hướng xuyên tâm ra ngoài và có độ dài aa trên SS. Vậy F⋅n=1a(x2+y2+z2)=a2a=a\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \frac{1}{a}(x^2+y^2+z^2) = \frac{a^2}{a} = a.

Vì F⋅n=a\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = a là hằng số trên SS, tích phân thông lượng đơn giản bằng hằng số này nhân diện tích mặt: ∬SF⋅dS=a⋅area⁡(S)=a⋅4πa2=4πa3\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = a \cdot \operatorname{area}(S) = a \cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^3, khớp chính xác với tích phân thể tích.

Ví dụ: Tính diện tích bằng định lý Green

Cho CC là đường tròn đơn vị x2+y2=1x^2+y^2=1 đi theo chiều ngược kim đồng hồ. Dùng định lý Green với P=−yP=-y, Q=xQ=x để kiểm chứng công thức diện tích area⁡(D)=12∮C(x dy−y dx)\operatorname{area}(D) = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx) cho hình tròn đơn vị DD.

Lời giải

Với P=−yP=-y và Q=xQ=x, định lý Green cho ∮C(−y dx+x dy)=∬D(∂x∂x−∂(−y)∂y)dA=∬D(1−(−1)) dA=2∬DdA=2area⁡(D)\oint_C (-y\,dx + x\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial(-y)}{\partial y}\right) dA = \iint_D (1 - (-1))\,dA = 2\iint_D dA = 2\operatorname{area}(D).

Tính trực tiếp tích phân đường bằng cách tham số hóa CC như x=cos⁡θx=\cos\theta, y=sin⁡θy=\sin\theta với θ∈[0,2π]\theta \in [0, 2\pi], nên dx=−sin⁡θ dθdx = -\sin\theta\,d\theta và dy=cos⁡θ dθdy = \cos\theta\,d\theta: ∮C(−y dx+x dy)=∫02π(sin⁡2θ+cos⁡2θ)dθ=∫02π1 dθ=2π\oint_C (-y\,dx + x\,dy) = \int_0^{2\pi} \left(\sin^2\theta + \cos^2\theta\right) d\theta = \int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi.

Vì area⁡(D)=π\operatorname{area}(D) = \pi với hình tròn đơn vị, vế tích phân kép cho 2area⁡(D)=2π2\operatorname{area}(D) = 2\pi, khớp chính xác với tích phân đường tính trực tiếp 2π2\pi, xác nhận định lý Green và công thức diện tích area⁡(D)=12∮C(x dy−y dx)\operatorname{area}(D) = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).

Tính div ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F} của F(x,y,z)=(x2,y2,z2)\mathbf{F}(x,y,z) = (x^2, y^2, z^2) tại điểm (1,1,1)(1,1,1).

Tính curl ∇×F\nabla \times \mathbf{F} của trường xoáy F(x,y,z)=(y,−x,0)\mathbf{F}(x,y,z) = (y,-x,0).

Tại một điểm mà ∇⋅F>0\nabla \cdot \mathbf{F} > 0 với trường vận tốc chất lỏng F\mathbf{F}, điều gì đang xảy ra về mặt vật lý?

Định lý nào liên kết tích phân mặt của ∇×F\nabla \times \mathbf{F} trên một mặt mở SS với tích phân đường quanh biên ∂S\partial S của nó?

Tài liệu tham khảo

  1. Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2012). Vector Calculus
  2. H. M. Schey (2005). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus
  3. Tom M. Apostol (1969). Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications