Định lý dãy đơn điệu và bị chặn

Cho $(a_n)$ tăng và bị chặn trên. Theo tiên đề đầy đủ của $\mathbb{R}$, tập $\{a_n : n\in\mathbb{N}^*\}$ có cận trên đúng $L=\sup_n a_n$.

Cố định $\varepsilon>0$. Vì $L$ là cận trên đúng (nhỏ nhất), $L-\varepsilon$ không phải là cận trên, nên tồn tại chỉ số $N$ sao cho $a_N>L-\varepsilon$.

Vì $(a_n)$ tăng, với mọi $n>N$ ta có $a_n\ge a_N>L-\varepsilon$. Mặt khác $a_n\le L$ với mọi $n$, vì $L$ là cận trên của cả dãy.

Kết hợp hai bất đẳng thức: $L-\varepsilon<a_n\le L<L+\varepsilon$ với mọi $n>N$, tức $|a_n-L|<\varepsilon$. Vì $\varepsilon>0$ tùy ý nên theo định nghĩa ε–N, $\lim_{n\to\infty} a_n = L$. $\blacksquare$