Lớp 11

Giới hạn của dãy số

Giá trị mà dãy số tiến tới khi chỉ số tăng vô hạn.

Trực giácĐuổi theo một dãy số ra vô cực

Xét dãy $a_n=\frac{1}{n}$ : $1,\ 0.5,\ 0.333\ldots,\ 0.25,\ldots$ Các số hạng không bao giờ thực sự bằng $0$ , nhưng chúng ép sát tùy ý tới $0$ khi $n$ tăng. Việc "tiến gần mãi mãi" này chính là điều khái niệm giới hạn của dãy số nắm bắt, và nó là động cơ đứng sau tổng vô hạn, thuật toán lặp và lãi kép.

Tổng riêng

S_n=\sum_{k=0}^{n-1}u_1q^k

của một cấp số nhân; kéo

n

và quan sát

S_n\to \frac{u_1}{1-q}

Phổ thôngĐịnh nghĩa chính xác

Định nghĩa: Giới hạn của dãy số (định nghĩa ε–N)

Ta nói $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ nếu với mọi số $\varepsilon>0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một chỉ số $N$ mà kể từ đó mọi số hạng $a_n$ đều sai khác $L$ ít hơn $\varepsilon$ . Viết bằng ký hiệu: $\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*:\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\varepsilon$

\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*:\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\varepsilon

Ở đây $\varepsilon$ (epsilon) là một sai số nhỏ tùy ý do "người hoài nghi" chọn, $N$ là "chỉ số chờ" mà ta được chọn để đáp lại, và $|a_n-L|<\varepsilon$ nghĩa là số hạng $a_n$ nằm trong dải $(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$ . Định nghĩa này giống một trò chơi: dù $\varepsilon$ nhỏ đến đâu, ta luôn chỉ ra được một $N$ phù hợp.

S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{u_1}{1-q}

Các giới hạn đặc biệt dùng thường xuyên
Dạng	Kết quả
Nghịch đảo lũy thừa	$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0$ với $k>0$
Lũy thừa cấp số nhân	$\lim_{n\to\infty} q^n = 0$ khi $\|q\|<1$
Dãy hằng số	$\lim_{n\to\infty} c = c$
Tăng đa thức	$\lim_{n\to\infty} n^k = +\infty$ với $k>0$

Đại họcHai định lý trụ cột

Định lý: Định lý dãy đơn điệu và bị chặn

Nếu $(a_n)$ tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ, và $a_1\le a_2\le\cdots\le M\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty}a_n=\sup_n a_n$ (đối xứng cho dãy giảm bị chặn dưới).

Vì sao đúng?

Về trực giác, một dãy chỉ toàn leo lên nhưng không bao giờ vượt qua một "trần" thì không còn chỗ nào khác để đi ngoài việc dừng lại ngay sát dưới trần đó.

Chứng minh

Cho $(a_n)$ tăng và bị chặn trên. Theo tiên đề đầy đủ của $\mathbb{R}$ , tập $\{a_n : n\in\mathbb{N}^*\}$ có cận trên đúng $L=\sup_n a_n$ .

Cố định $\varepsilon>0$ . Vì $L$ là cận trên đúng (nhỏ nhất), $L-\varepsilon$ không phải là cận trên, nên tồn tại chỉ số $N$ sao cho $a_N>L-\varepsilon$ .

Vì $(a_n)$ tăng, với mọi $n>N$ ta có $a_n\ge a_N>L-\varepsilon$ . Mặt khác $a_n\le L$ với mọi $n$ , vì $L$ là cận trên của cả dãy.

Kết hợp hai bất đẳng thức: $L-\varepsilon<a_n\le L<L+\varepsilon$ với mọi $n>N$ , tức $|a_n-L|<\varepsilon$ . Vì $\varepsilon>0$ tùy ý nên theo định nghĩa ε–N, $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ . $\blacksquare$

Định lý: Định lý kẹp (giới hạn kẹp)

Nếu $b_n\le a_n\le c_n,\ \lim b_n=\lim c_n=L\ \Rightarrow\ \lim a_n=L$ , thì $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ .

Vì sao đúng?

Nếu một dãy bị kẹp giữa hai dãy khác cùng hội tụ về một điểm, nó không còn chỗ nào khác để đi.

Chứng minh

Giả sử $b_n\le a_n\le c_n$ với mọi $n$ đủ lớn, và $\lim b_n=\lim c_n=L$ .

Cố định $\varepsilon>0$ . Vì $\lim b_n=L$ nên tồn tại $N_1$ sao cho $L-\varepsilon<b_n<L+\varepsilon$ với mọi $n>N_1$ . Vì $\lim c_n=L$ nên tồn tại $N_2$ sao cho $L-\varepsilon<c_n<L+\varepsilon$ với mọi $n>N_2$ .

Đặt $N=\max(N_1,N_2)$ . Với mọi $n>N$ , kết hợp $b_n\le a_n\le c_n$ với hai bất đẳng thức trên: $L-\varepsilon<b_n\le a_n\le c_n<L+\varepsilon$ , suy ra $L-\varepsilon<a_n<L+\varepsilon$ , tức $|a_n-L|<\varepsilon$ .

Vì $\varepsilon>0$ tùy ý, theo định nghĩa ε–N, $\lim_{n\to\infty} a_n=L$ . $\blacksquare$

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Giới hạn dãy số là nền tảng của cấp số nhân lùi vô hạn trong tài chính (niên kim vĩnh viễn, trả góp), vật lý (năng lượng mất đi khi bóng nảy), khoa học máy tính (vòng lặp hội tụ, lặp điểm bất động) và giải tích số (thuật toán tìm nghiệm có từ trước máy tính, như phương pháp Babylon tính căn bậc hai).

Ví dụ

Một quả bóng được thả rơi từ độ cao $h_0=2$ m. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên tới độ cao bằng $q=0.6$ lần độ cao lần nảy trước ( $|q|<1$ ). Tính tổng quãng đường bóng đi được (rơi xuống và nảy lên) cho tới khi dừng hẳn, coi như bóng nảy vô hạn lần.

Lời giải

Lần rơi đầu tiên đóng góp $h_0$ . Sau đó, mỗi lần nảy $k=1,2,\ldots$ đóng góp một chặng "lên" cao $h_0q^k$ và một chặng "xuống" cùng độ cao, nên đóng góp $2h_0q^k$ vào tổng.

Tổng của vô hạn lần nảy là một cấp số nhân lùi vô hạn: $\sum_{k=1}^{\infty} 2h_0q^k = 2h_0\cdot\frac{q}{1-q}$ , dùng $S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{u_1}{1-q}$ với số hạng đầu là $q$ .

Tổng quãng đường $=h_0+2h_0\cdot\frac{q}{1-q}=h_0\cdot\frac{1-q+2q}{1-q}=h_0\cdot\frac{1+q}{1-q}$ .

Thay $h_0=2$ và $q=0.6$ : tổng $=2\cdot\frac{1.6}{0.4}=2\cdot 4=8$ m. Dù bóng nảy vô hạn lần, tổng quãng đường lại hữu hạn — hệ quả trực tiếp của giới hạn cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ

Xét dãy số xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$ (thuật toán Babylon/Heron tính căn bậc hai). Chứng minh dãy $(u_n)$ hội tụ và tìm giới hạn.

Lời giải

Trước tiên, tính bị chặn: theo bất đẳng thức AM–GM, với mọi $u_n>0$ , $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)\ge\sqrt{u_n\cdot\frac{2}{u_n}}=\sqrt{2}$ , nên $u_n\ge\sqrt{2}$ với mọi $n\ge 2$ .

Tiếp theo, tính đơn điệu: với $n\ge 2$ , $u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le 0$ vì $u_n^2\ge 2$ . Vậy $(u_n)$ giảm (kể từ chỉ số $2$ ) và bị chặn dưới bởi $\sqrt{2}$ .

Theo định lý dãy đơn điệu và bị chặn, $(u_n)$ hội tụ về một giới hạn $L$ nào đó. Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi: $L=\frac{1}{2}\left(L+\frac{2}{L}\right)$ , suy ra $2L=L+\frac{2}{L}$ , nên $L^2=2$ , do đó $L=\sqrt{2}$ (nghiệm dương, vì mọi $u_n>0$ ).

Bằng số: $u_1=1,\ u_2=1.5,\ u_3\approx1.41667,\ u_4\approx1.414216$ — đã chính xác tới năm chữ số thập phân của $\sqrt{2}$ chỉ sau ba bước, cho thấy thuật toán lặp cổ xưa này hội tụ nhanh đến mức nào.

Tính $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}$ .

Với $q=0.5$ , giá trị của $\lim_{n\to\infty} q^n$ là bao nhiêu?

Một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=3$ và công bội $q=\frac{1}{3}$ . Tổng của nó bằng bao nhiêu?

Điều kiện nào, cùng với tính đơn điệu, đảm bảo một dãy số có giới hạn hữu hạn?

Tài liệu tham khảo

James Stewart (2015). Calculus: Early Transcendentals
Judith V. Grabiner (1983). Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus