Định lý kẹp (giới hạn kẹp)

Giả sử $b_n\le a_n\le c_n$ với mọi $n$ đủ lớn, và $\lim b_n=\lim c_n=L$.

Cố định $\varepsilon>0$. Vì $\lim b_n=L$ nên tồn tại $N_1$ sao cho $L-\varepsilon<b_n<L+\varepsilon$ với mọi $n>N_1$. Vì $\lim c_n=L$ nên tồn tại $N_2$ sao cho $L-\varepsilon<c_n<L+\varepsilon$ với mọi $n>N_2$.

Đặt $N=\max(N_1,N_2)$. Với mọi $n>N$, kết hợp $b_n\le a_n\le c_n$ với hai bất đẳng thức trên: $L-\varepsilon<b_n\le a_n\le c_n<L+\varepsilon$, suy ra $L-\varepsilon<a_n<L+\varepsilon$, tức $|a_n-L|<\varepsilon$.

Vì $\varepsilon>0$ tùy ý, theo định nghĩa ε–N, $\lim_{n\to\infty} a_n=L$. $\blacksquare$