Giới hạn lượng giác cơ bản

Xét $0<x<\frac{\pi}{2}$ trên đường tròn đơn vị tâm $O$, điểm $A=(1,0)$, điểm $B=(\cos x,\sin x)$ trên đường tròn, và điểm $T=(1,\tan x)$ là giao của tia $OB$ với tiếp tuyến đứng tại $A$.

Tam giác $\triangle OAB$ nằm hoàn toàn bên trong hình quạt tròn $OAB$, và hình quạt này lại nằm hoàn toàn bên trong tam giác vuông $\triangle OAT$. So sánh diện tích ba hình ta được $\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x$.

Vì $\sin x>0$ trên $(0,\frac{\pi}{2})$, nhân cả dãy bất đẳng thức với $\frac{2}{\sin x}$: $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$. Lấy nghịch đảo sẽ đảo chiều bất đẳng thức: $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$.

Khi $x\to 0^+$ thì $\cos x\to 1$, nên định lý kẹp buộc $\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1$. Cuối cùng, $g(x)=\frac{\sin x}{x}$ là hàm chẵn ($g(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=g(x)$), nên $\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1$ cũng đúng; hợp lại ta được $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$. $\blacksquare$