Lớp 11

Giới hạn của hàm số

Giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số tiến gần tùy ý tới một điểm.

Trực giácChuyện xảy ra ngay sát một điểm

Giả sử ta không thể tính trực tiếp một công thức ngay tại $x=x_0$ — chẳng hạn tỉ số sai phân $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ tại $h=0$ cho dạng $\frac{0}{0}$ . Dù bản thân điểm đó không chạm tới được, ta vẫn có thể tiến gần tùy ý tới $x_0$ từ cả hai phía và xem $f(x)$ ổn định quanh giá trị nào. Giá trị đích đó là giới hạn $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ , và nó không cần biết $f(x_0)$ có tồn tại hay không.

Hệ số góc cát tuyến

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

: kéo

h\to 0

và quan sát cát tuyến tiến dần thành tiếp tuyến — một giới hạn tại

h=0

, nơi bản thân công thức không xác định.

Phổ thôngĐịnh nghĩa chính xác và các giới hạn cơ bản

Định nghĩa: Giới hạn của hàm số tại một điểm (định nghĩa ε–δ)

Cho hàm $f$ xác định trên một khoảng mở quanh $x_0$ , có thể trừ chính điểm $x_0$ . Ta viết $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ nếu với mọi sai số $\varepsilon>0$ đều tồn tại bán kính $\delta>0$ sao cho $\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0:\ 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ . Chú ý dấu bất đẳng thức ngặt $0<|x-x_0|$ : trong phép thử này, $x$ không bao giờ được bằng $x_0$ .

\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0:\ 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon

Ở đây $\varepsilon$ là sai số dọc quanh $L$ trên trục giá trị, còn $\delta$ (delta) là cửa sổ ngang quanh $x_0$ trên trục biến số. Hai giới hạn nền tảng — được chứng minh bằng hình học và bằng chặn đơn điệu — mở khóa toàn bộ đạo hàm của các hàm lượng giác, mũ và lôgarit: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ (với $x$ tính bằng radian) và $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$ .

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e

Giới hạn một bên và giới hạn hai bên tại một điểm
Hàm số và điểm	Giới hạn trái / phải	Giới hạn hai bên
$f(x)=\frac{\|x\|}{x}$ tại $x_0=0$	Trái $=-1$ , phải $=+1$	Không tồn tại ( $-1\ne +1$ )
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ tại $x_0=1$	Trái $=2$ , phải $=2$	Bằng $2$ (dù $f(1)$ không xác định)
$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ tại $x_0=0$	Trái $=1$ , phải $=1$	Bằng $1$

Đại họcCác định lý then chốt và chứng minh

Định lý: Sự tồn tại giới hạn qua hai giới hạn một bên

Giới hạn hai bên tồn tại khi và chỉ khi cả hai giới hạn một bên cùng tồn tại và bằng nhau: $\lim_{x\to x_0} f(x)=L \iff \lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)=L$ .

Vì sao đúng?

Đi về phía một cánh cửa từ hành lang bên trái và từ hành lang bên phải chỉ đưa ta tới cùng một chỗ nếu hai hành lang thực sự gặp nhau tại cùng một điểm.

Chứng minh

( $\Rightarrow$ ) Giả sử $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ . Với $\varepsilon>0$ cho trước, định nghĩa ε–δ cho $\delta>0$ sao cho $0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ .

Đặc biệt, nếu $x_0<x<x_0+\delta$ (điều kiện bên phải) hoặc $x_0-\delta<x<x_0$ (điều kiện bên trái), ta tự động có $0<|x-x_0|<\delta$ , nên $|f(x)-L|<\varepsilon$ . Vậy cả hai giới hạn một bên đều bằng $L$ .

( $\Leftarrow$ ) Ngược lại, giả sử cả hai giới hạn một bên đều bằng $L$ . Với $\varepsilon>0$ cho trước, giới hạn trái cho $\delta_1>0$ thỏa trên $(x_0-\delta_1,x_0)$ , còn giới hạn phải cho $\delta_2>0$ thỏa trên $(x_0,x_0+\delta_2)$ .

Đặt $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)>0$ . Khi đó mọi $x$ thỏa $0<|x-x_0|<\delta$ đều nằm trong $(x_0-\delta_1,x_0)$ hoặc $(x_0,x_0+\delta_2)$ , và trong cả hai trường hợp đều có $|f(x)-L|<\varepsilon$ . Suy ra $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ . $\blacksquare$

Định lý: Giới hạn lượng giác cơ bản

Với $x$ đo bằng radian, $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ .

Vì sao đúng?

Trên đường tròn đơn vị, một cung rất nhỏ có độ dài $x$ , cạnh đứng $\sin x$ và đoạn tiếp tuyến ngoài $\tan x$ trở nên không thể phân biệt bằng mắt khi góc khép dần về $0$ .

Chứng minh

Xét $0<x<\frac{\pi}{2}$ trên đường tròn đơn vị tâm $O$ , điểm $A=(1,0)$ , điểm $B=(\cos x,\sin x)$ trên đường tròn, và điểm $T=(1,\tan x)$ là giao của tia $OB$ với tiếp tuyến đứng tại $A$ .

Tam giác $\triangle OAB$ nằm hoàn toàn bên trong hình quạt tròn $OAB$ , và hình quạt này lại nằm hoàn toàn bên trong tam giác vuông $\triangle OAT$ . So sánh diện tích ba hình ta được $\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x$ .

Vì $\sin x>0$ trên $(0,\frac{\pi}{2})$ , nhân cả dãy bất đẳng thức với $\frac{2}{\sin x}$ : $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$ . Lấy nghịch đảo sẽ đảo chiều bất đẳng thức: $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ .

Khi $x\to 0^+$ thì $\cos x\to 1$ , nên định lý kẹp buộc $\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1$ . Cuối cùng, $g(x)=\frac{\sin x}{x}$ là hàm chẵn ( $g(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=g(x)$ ), nên $\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1$ cũng đúng; hợp lại ta được $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ . $\blacksquare$

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Giới hạn hàm số biến tốc độ trung bình thành tốc độ tức thời trong vật lý (vận tốc, gia tốc, cường độ dòng điện), biện minh cho xấp xỉ góc nhỏ cận trục $\sin\theta\approx\theta$ trong quang học hình học (ống kính máy ảnh, kính thiên văn) và cơ học con lắc, đồng thời biến lãi kép rời rạc thành lãi kép liên tục thông qua $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$ .

Ví dụ

Một viên đá rơi có vị trí $s(t)=5t^2$ (mét) tại thời điểm $t$ (giây). Dùng giới hạn của vận tốc trung bình trên đoạn $[2,\ 2+h]$ , hãy tìm vận tốc tức thời của nó tại $t=2$ giây.

Lời giải

Trên khoảng thời gian $[2,\ 2+h]$ với $h\ne 0$ , vận tốc trung bình là $v_{\text{avg}}(h)=\frac{s(2+h)-s(2)}{h}=\frac{5(2+h)^2-5\cdot 2^2}{h}$ .

Khai triển tử số: $5(4+4h+h^2)-20=20h+5h^2=h(20+5h)$ .

Vì $h\ne 0$ khi lấy giới hạn, rút gọn $h$ : $v_{\text{avg}}(h)=20+5h$ .

Lấy giới hạn khi $h\to 0$ : $v(2)=\lim_{h\to 0}(20+5h)=20$ m/s. Chú ý cách dạng vô định $\frac{0}{0}$ biến mất ngay khi ta rút gọn trước lúc lấy giới hạn.

Ví dụ

Trong quang học cận trục, các kỹ sư thiết kế thấu kính thay $\sin\theta$ trong định luật khúc xạ Snell $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ bằng $\theta$ (radian) nhờ $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ . Dùng bất đẳng thức kẹp $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , hãy chứng minh với tia tới ở góc $\theta=0.1$ rad ( $\approx 5.7^\circ$ ), sai số tương đối $\frac{\theta-\sin\theta}{\sin\theta}$ nhỏ hơn $1\%$ .

Lời giải

Từ $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ với $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ , lấy nghịch đảo ta được $1<\frac{\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos\theta}$ .

Trừ $1$ ở cả ba vế: $0<\frac{\theta-\sin\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos\theta}-1=\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta}$ .

Dùng $1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)<2(\theta/2)^2=\frac{\theta^2}{2}$ và $\cos(0.1)>0.99$ , tại $\theta=0.1$ ta được: $\frac{\theta-\sin\theta}{\sin\theta}<\frac{0.005}{0.99}\approx 0.00505$ , tức khoảng $0.5\%<1\%$ .

(Thực tế giá trị chính xác chỉ $\approx 0.167\%$ .) Đó là lý do công thức thấu kính tuyến tính hóa $\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}$ cực kỳ chính xác đối với các tia sáng gần trục quang học.

Lỗi hay gặp. Sai: "Muốn tìm

\lim_{x\to x_0} f(x) = L

chỉ cần thay

x=x_0

; nếu

f(x_0)

không xác định thì giới hạn không tồn tại." Vì sao sai: giới hạn chỉ phụ thuộc vào giá trị của

f(x)

với

x\ne x_0

ở gần

x_0

, không bao giờ phụ thuộc vào bản thân

f(x_0)

— ví dụ

\frac{x^2-1}{x-1}

không xác định tại

x=1

nhưng giới hạn khi

x\to 1

vẫn bằng

2

. Ngoài ra,

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

chỉ đúng khi

x

tính bằng radian; nếu tính bằng độ thì

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^\circ}{x}=\frac{\pi}{180}

. Cách sửa: biến đổi rút gọn hoặc nhân liên hợp/dùng định lý kẹp với

x\ne x_0

trước khi lấy giới hạn, và luôn đổi góc sang radian.

Tính $\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$ .

Cho $f(x)=x+1$ khi $x<1$ và $f(x)=x^2$ khi $x\ge 1$ . Giá trị của $\lim_{x\to 1} f(x)$ là gì?

Giá trị của $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}$ (với $x$ tính bằng radian) là bao nhiêu?

Hằng số nổi tiếng nào được định nghĩa bởi $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ ?

Tài liệu tham khảo

James Stewart (2015). Calculus: Early Transcendentals
David Jerison (2010). MIT 18.01SC Single Variable Calculus, Session 4: Limits and Continuity