Sự tồn tại giới hạn qua hai giới hạn một bên

($\Rightarrow$) Giả sử $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$. Với $\varepsilon>0$ cho trước, định nghĩa ε–δ cho $\delta>0$ sao cho $0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$.

Đặc biệt, nếu $x_0<x<x_0+\delta$ (điều kiện bên phải) hoặc $x_0-\delta<x<x_0$ (điều kiện bên trái), ta tự động có $0<|x-x_0|<\delta$, nên $|f(x)-L|<\varepsilon$. Vậy cả hai giới hạn một bên đều bằng $L$.

($\Leftarrow$) Ngược lại, giả sử cả hai giới hạn một bên đều bằng $L$. Với $\varepsilon>0$ cho trước, giới hạn trái cho $\delta_1>0$ thỏa trên $(x_0-\delta_1,x_0)$, còn giới hạn phải cho $\delta_2>0$ thỏa trên $(x_0,x_0+\delta_2)$.

Đặt $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)>0$. Khi đó mọi $x$ thỏa $0<|x-x_0|<\delta$ đều nằm trong $(x_0-\delta_1,x_0)$ hoặc $(x_0,x_0+\delta_2)$, và trong cả hai trường hợp đều có $|f(x)-L|<\varepsilon$. Suy ra $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$. $\blacksquare$