Định lýĐã chứng minh

Định lý đầy đủ của Gödel

Phát biểu

Trong logic bậc một, một mệnh đề $\varphi$ suy ra được từ tập tiên đề $\Sigma$ (ký hiệu $\Sigma\vdash\varphi$ ) khi và chỉ khi $\varphi$ đúng trong mọi mô hình của $\Sigma$ (ký hiệu $\Sigma\models\varphi$ ): hệ quả cú pháp và hệ quả ngữ nghĩa trùng nhau.

Vì sao đúng?

Định lý đầy đủ nói rằng hệ chứng minh bậc một không bỏ sót gì: bất cứ điều gì đúng trong mọi cấu trúc thỏa mãn tiên đề đều thực sự chứng minh được bằng một chứng minh hình thức hữu hạn. Đây là mặt tích cực song hành với các định lý bất toàn (ra đời sau), vốn nói về những gì một hệ tiên đề cố định cho số học có thể chứng minh, chứ không phải về khả năng chứng minh bậc một nói chung.

Phác thảo chứng minh

Chứng minh mọi tập mệnh đề bậc một nhất quán đều có mô hình (phương pháp Henkin): mở rộng ngôn ngữ bằng các hằng số mới để làm 'nhân chứng' cho mọi mệnh đề tồn tại, mở rộng lý thuyết thành một tập nhất quán cực đại nhờ các nhân chứng này, rồi dựng trực tiếp một mô hình hạng từ từ dữ liệu cú pháp thu được. Từ đó suy ra tính đầy đủ: nếu $\Sigma\nvdash\varphi$ thì $\Sigma\cup\{\neg\varphi\}$ nhất quán, nên có mô hình mà $\varphi$ sai trong đó, tức $\Sigma\not\models\varphi$ .

Người chứng minh

chứng minh năm 1929Kurt Gödel

Chủ đề chứa định lý này

Logic vị từ Định lý bất toàn Gödel

Định lý liên quan

Định lý bất toàn thứ nhất của Gödel

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Kurt Gödel (1930). Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls · DOI:10.1007/BF01696781
Herbert B. Enderton (2001). A Mathematical Introduction to Logic · DOI:10.1016/C2009-0-22107-6