Định lý Green–Tao

Bước 1 (trở ngại). Hàm von Mangoldt $\Lambda(n)$ (bằng $\log p$ khi $n=p^j$ và 0 nếu không) là trọng số tự nhiên để phát hiện số nguyên tố, với kích thước trung bình $\mathbb{E}[\Lambda] \approx 1$. Nhưng bản thân $\Lambda$ không bị chặn, và $\mathcal{P}$ có mật độ 0, nên không định lý mật độ cổ điển nào áp dụng trực tiếp cho nó.

Bước 2 (hàm trội giả ngẫu nhiên). Dùng ý tưởng từ trọng số sàng kiểu Goldston–Yıldırım, Green và Tao xây dựng một độ đo $\nu(n) \ge 0$ với $\mathbb{E}[\nu] \approx 1$ trội hơn số nguyên tố, $\Lambda(n) \le K\nu(n)$ với hằng số $K$, và giả ngẫu nhiên: nó thỏa các điều kiện chính xác về dạng tuyến tính và tương quan mô phỏng những gì một tập ngẫu nhiên thật cùng mật độ sẽ thỏa.

Bước 3 (định lý Szemerédi tương đối). Green và Tao chứng minh rằng mọi hàm $0 \le f \le \nu$ có mật độ tương đối dương, $\mathbb{E}[f] \ge \delta$, vẫn chứa mật độ kỳ vọng các cấp số cộng độ dài $k$, miễn $\nu$ giả ngẫu nhiên. Chứng minh phân tách $f$ thành một phần bị chặn, có cấu trúc, cộng với một phần nhỏ theo chuẩn đồng đều Gowers tương đối với $\nu$; phần đồng đều đóng góp không đáng kể vào số cấp số cộng nhờ một định lý von Neumann tổng quát, nên riêng phần có cấu trúc đã phải giải thích được các cấp số cộng kỳ vọng — hệt như trong chứng minh chính quy hóa siêu đồ thị cổ điển của định lý Szemerédi, nhưng tương đối hóa qua $\nu$.

Bước 4 (ghép lại). Kiểm chứng $\nu$ kiểu Goldston–Yıldırım thực sự giả ngẫu nhiên (kiểm tra các điều kiện dạng tuyến tính và tương quan bằng các ước lượng đếm số nguyên tố chuẩn) cho phép Bước 3 áp dụng cho $f = \Lambda / K$, có mật độ tương đối dương vì $\mathbb{E}[\Lambda] \approx 1$. Điều này cho một mật độ tương đối dương các cấp số cộng độ dài $k$ được tính trọng số bởi $\Lambda$, và do đó — sau khi loại bỏ đóng góp không đáng kể từ lũy thừa số nguyên tố — một cấp số cộng số nguyên tố thực sự độ dài $k$, với mọi $k$.