Định lý Green–Tao

Trở ngại là mật độ 0, nên định lý không thể suy trực tiếp từ định lý Szemerédi áp dụng cho $\mathcal{P}$. Ý tưởng của Green và Tao là lập luận mật độ kiểu Szemerédi vẫn hoạt động cho một tập có mật độ tương đối bên trong một tập lớn hơn, đủ giả ngẫu nhiên — kể cả khi tập đó tự nó thưa trong $\mathbb{Z}$ — miễn là tập bao quanh đủ ngẫu nhiên để các lập luận đếm còn đúng.

Bước 1 (trở ngại). Hàm von Mangoldt $\Lambda(n)$ (bằng $\log p$ khi $n=p^j$ và 0 nếu không) là trọng số tự nhiên để phát hiện số nguyên tố, với kích thước trung bình $\mathbb{E}[\Lambda] \approx 1$. Nhưng bản thân $\Lambda$ không bị chặn, và $\mathcal{P}$ có mật độ 0, nên không định lý mật độ cổ điển nào áp dụng trực tiếp cho nó.

Bước 2 (hàm trội giả ngẫu nhiên). Dùng ý tưởng từ trọng số sàng kiểu Goldston–Yıldırım, Green và Tao xây dựng một độ đo $\nu(n) \ge 0$ với $\mathbb{E}[\nu] \approx 1$ trội hơn số nguyên tố, $\Lambda(n) \le K\nu(n)$ với hằng số $K$, và giả ngẫu nhiên: nó thỏa các điều kiện chính xác về dạng tuyến tính và tương quan mô phỏng những gì một tập ngẫu nhiên thật cùng mật độ sẽ thỏa.

Bước 3 (định lý Szemerédi tương đối). Green và Tao chứng minh rằng mọi hàm $0 \le f \le \nu$ có mật độ tương đối dương, $\mathbb{E}[f] \ge \delta$, vẫn chứa mật độ kỳ vọng các cấp số cộng độ dài $k$, miễn $\nu$ giả ngẫu nhiên. Chứng minh phân tách $f$ thành một phần bị chặn, có cấu trúc, cộng với một phần nhỏ theo chuẩn đồng đều Gowers tương đối với $\nu$; phần đồng đều đóng góp không đáng kể vào số cấp số cộng nhờ một định lý von Neumann tổng quát, nên riêng phần có cấu trúc đã phải giải thích được các cấp số cộng kỳ vọng — hệt như trong chứng minh chính quy hóa siêu đồ thị cổ điển của định lý Szemerédi, nhưng tương đối hóa qua $\nu$.

Bước 4 (ghép lại). Kiểm chứng $\nu$ kiểu Goldston–Yıldırım thực sự giả ngẫu nhiên (kiểm tra các điều kiện dạng tuyến tính và tương quan bằng các ước lượng đếm số nguyên tố chuẩn) cho phép Bước 3 áp dụng cho $f = \Lambda / K$, có mật độ tương đối dương vì $\mathbb{E}[\Lambda] \approx 1$. Điều này cho một mật độ tương đối dương các cấp số cộng độ dài $k$ được tính trọng số bởi $\Lambda$, và do đó — sau khi loại bỏ đóng góp không đáng kể từ lũy thừa số nguyên tố — một cấp số cộng số nguyên tố thực sự độ dài $k$, với mọi $k$.

Trường hợp riêng này có trước Green–Tao 65 năm và được van der Corput giải quyết năm 1939 bằng phương pháp vòng tròn Hardy–Littlewood áp dụng trực tiếp lên số nguyên tố, không cần bộ máy chuyển giao cần cho $k$ tổng quát. Nó cho thấy vì sao $k=3$ từ lâu đã giải được bằng lý thuyết số giải tích cổ điển trong khi cấp số cộng dài hơn hoàn toàn còn mở cho tới năm 2004.

Bước 1 (đếm có trọng số bằng tổng lũy thừa). Viết $S(\theta) = \sum_{n \le N} \Lambda(n) e(\theta n)$. Số đếm có trọng số các cấp số cộng 3 số hạng $p_1 + p_3 = 2p_2$ với mọi số hạng $\le N$ bằng $\int_0^1 S(\theta)^2 S(-2\theta) \, d\theta$ nhờ tính trực giao của hàm mũ.

Bước 2 (cung chính). Gần các số hữu tỉ $\theta \approx a/q$ với $q$ nhỏ, $S(\theta)$ được xấp xỉ tốt nhờ định lý số nguyên tố trong cấp số cộng; cộng các đóng góp này cho số hạng chính Hardy–Littlewood $\mathfrak{S}(N) \, N^2 / \log^3 N$, trong đó chuỗi kỳ dị $\mathfrak{S}(N)$ là một hằng số dương chỉ phụ thuộc mật độ địa phương (modulo $q$) của số nguyên tố.

Bước 3 (cung phụ). Xa các số hữu tỉ mẫu nhỏ, ước lượng Vinogradov chặn $S(\theta)$ bởi $O(N (\log N)^{-A})$ với mọi $A$ cố định, nhờ sự triệt tiêu trong tổng trên số nguyên tố; lấy tích phân cận này trên cung phụ cho thấy tổng đóng góp của chúng là $o(N^2/\log^3 N)$ — không đáng kể so với số hạng chính từ cung chính.

Bước 4 (kết luận). Vì số hạng chính từ cung chính $\mathfrak{S}(N)\,N^2/\log^3 N$ lấn át sai số không đáng kể từ cung phụ, số đếm có trọng số các cấp số cộng 3 số hạng tăng như $N^2/\log^3 N \to \infty$, nên có vô hạn (và tiệm cận nhiều) cấp số cộng 3 số hạng gồm số nguyên tố — trọn 65 năm trước khi trường hợp tổng quát được giải quyết.