Công thức phản xạ Euler

Bước 1 (Quy về hàm Beta). Dùng $B(x,y) = \dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ với $y=1-z$, $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = B(z,1-z) = \int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{-z}\,dt$. Thế $u = t/(1-t)$ biến đổi thành $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{1+u}\,du$ với $0<\operatorname{Re}(z)<1$.

Bước 2 (Thiết lập đường cong lỗ khóa). Để tính $I=\int_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{1+u}\,du$, dùng nhánh của $w^{z-1}$ cắt dọc trục thực dương và lấy tích phân $\dfrac{w^{z-1}}{1+w}$ quanh một đường cong lỗ khóa: đi ra ngay phía trên vết cắt, một đường tròn lớn bán kính $R$, quay lại ngay phía dưới vết cắt, và một đường tròn nhỏ bán kính $\varepsilon$ quanh $0$.

Bước 3 (Thặng dư tại cực điểm duy nhất). Điểm kỳ dị duy nhất của $\dfrac{w^{z-1}}{1+w}$ bên trong đường cong là cực điểm đơn tại $w=-1$, tại đó (dùng nhánh với argument $\pi$ ở đó) $\mathrm{Res} = (-1)^{z-1} = e^{i\pi(z-1)}$, nên định lý thặng dư cho tích phân lỗ khóa bằng $2\pi i\, e^{i\pi(z-1)}$.

Bước 4 (So sánh hai phía vết cắt và cho $R\to\infty$, $\varepsilon\to 0$). Đường tròn lớn và nhỏ triệt tiêu khi $0<\operatorname{Re}(z)<1$, và hai đoạn thẳng khác nhau bởi pha mà $w^{z-1}$ nhận được khi đi qua vết cắt, cho $I\big(1 - e^{2\pi i(z-1)}\big) = 2\pi i\, e^{i\pi(z-1)}$. Giải ra $I$ và rút gọn các hàm mũ dùng $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ cho $I = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$, nên kết hợp với Bước 1, $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$.