Hàm đặc biệt

Điều này cho thấy tích phân Gamma không phải là một tổng quát hóa tùy tiện, mà là sự tiếp nối mượt mà duy nhất tái tạo đúng cấu trúc nhân của giai thừa, đó là lý do nó là đối tượng đúng để thay vào các số không nguyên.

Bước 1 (Trường hợp cơ sở). $\Gamma(1) = \int_0^\infty t^0 e^{-t}\,dt = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = \big[-e^{-t}\big]_0^\infty = 0-(-1) = 1 = 0!$, nên công thức đúng với $n=0$.

Bước 2 (Công thức truy hồi bằng tích phân từng phần). Với $\operatorname{Re}(z) > 0$, lấy tích phân từng phần $\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ với $u=t^z$, $dv=e^{-t}\,dt$: $\Gamma(z+1) = \int_0^\infty t^z e^{-t}\,dt = \big[-t^z e^{-t}\big]_0^\infty + z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt = 0 + z\,\Gamma(z)$, dùng việc số hạng biên triệt tiêu ở cả hai đầu. Điều này chứng minh $\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)$.

Bước 3 (Quy nạp). Giả sử $\Gamma(k+1) = k!$ với một số nguyên không âm $k$ nào đó. Theo Bước 2 với $z=k+1$, $\Gamma(k+2) = (k+1)\,\Gamma(k+1) = (k+1)\cdot k! = (k+1)!$.

Bước 4 (Kết luận). Vì trường hợp cơ sở $n=0$ đúng (Bước 1) và bước quy nạp chuyển đẳng thức từ $n=k$ sang $n=k+1$ (Bước 3), $\Gamma(n+1)=n!$ đúng với mọi số nguyên không âm $n$ theo nguyên lý quy nạp toán học.

Nó liên kết một đối tượng trông thuần đại số (tỉ số hai giá trị Gamma) với lượng giác, và chính là đẳng thức khiến các cực điểm của $\Gamma$ tại các số nguyên không dương khớp với các không điểm của $\sin(\pi z)$ tại mọi số nguyên — phép tính thặng dư từ tích phân đường chính là thứ tạo ra hàm sin ở vế phải.

Bước 1 (Quy về hàm Beta). Dùng $B(x,y) = \dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ với $y=1-z$, $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = B(z,1-z) = \int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{-z}\,dt$. Thế $u = t/(1-t)$ biến đổi thành $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{1+u}\,du$ với $0<\operatorname{Re}(z)<1$.

Bước 2 (Thiết lập đường cong lỗ khóa). Để tính $I=\int_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{1+u}\,du$, dùng nhánh của $w^{z-1}$ cắt dọc trục thực dương và lấy tích phân $\dfrac{w^{z-1}}{1+w}$ quanh một đường cong lỗ khóa: đi ra ngay phía trên vết cắt, một đường tròn lớn bán kính $R$, quay lại ngay phía dưới vết cắt, và một đường tròn nhỏ bán kính $\varepsilon$ quanh $0$.

Bước 3 (Thặng dư tại cực điểm duy nhất). Điểm kỳ dị duy nhất của $\dfrac{w^{z-1}}{1+w}$ bên trong đường cong là cực điểm đơn tại $w=-1$, tại đó (dùng nhánh với argument $\pi$ ở đó) $\mathrm{Res} = (-1)^{z-1} = e^{i\pi(z-1)}$, nên định lý thặng dư cho tích phân lỗ khóa bằng $2\pi i\, e^{i\pi(z-1)}$.

Bước 4 (So sánh hai phía vết cắt và cho $R\to\infty$, $\varepsilon\to 0$). Đường tròn lớn và nhỏ triệt tiêu khi $0<\operatorname{Re}(z)<1$, và hai đoạn thẳng khác nhau bởi pha mà $w^{z-1}$ nhận được khi đi qua vết cắt, cho $I\big(1 - e^{2\pi i(z-1)}\big) = 2\pi i\, e^{i\pi(z-1)}$. Giải ra $I$ và rút gọn các hàm mũ dùng $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ cho $I = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$, nên kết hợp với Bước 1, $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$.