Hàm Gamma nội suy giai thừa

Bước 1 (Trường hợp cơ sở). $\Gamma(1) = \int_0^\infty t^0 e^{-t}\,dt = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = \big[-e^{-t}\big]_0^\infty = 0-(-1) = 1 = 0!$, nên công thức đúng với $n=0$.

Bước 2 (Công thức truy hồi bằng tích phân từng phần). Với $\operatorname{Re}(z) > 0$, lấy tích phân từng phần $\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ với $u=t^z$, $dv=e^{-t}\,dt$: $\Gamma(z+1) = \int_0^\infty t^z e^{-t}\,dt = \big[-t^z e^{-t}\big]_0^\infty + z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt = 0 + z\,\Gamma(z)$, dùng việc số hạng biên triệt tiêu ở cả hai đầu. Điều này chứng minh $\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)$.

Bước 3 (Quy nạp). Giả sử $\Gamma(k+1) = k!$ với một số nguyên không âm $k$ nào đó. Theo Bước 2 với $z=k+1$, $\Gamma(k+2) = (k+1)\,\Gamma(k+1) = (k+1)\cdot k! = (k+1)!$.

Bước 4 (Kết luận). Vì trường hợp cơ sở $n=0$ đúng (Bước 1) và bước quy nạp chuyển đẳng thức từ $n=k$ sang $n=k+1$ (Bước 3), $\Gamma(n+1)=n!$ đúng với mọi số nguyên không âm $n$ theo nguyên lý quy nạp toán học.