Chặn Hasse

Xét tự đồng cấu Frobenius $\varphi: E(\overline{\mathbb{F}_p}) \to E(\overline{\mathbb{F}_p})$, $\varphi(x,y) = (x^p, y^p)$. Các điểm bất động của nó chính xác là $E(\mathbb{F}_p)$, và ta chứng minh được $\#E(\mathbb{F}_p) = \deg(\varphi - 1) = p+1-t$ với $t = \varphi + \hat\varphi$ là vết của Frobenius tác động lên vành tự đồng cấu. Ánh xạ bậc trên các tự đồng cấu của $E$ là một dạng toàn phương nguyên xác định dương (thỏa mãn $\deg(m\varphi+n) \ge 0$ với mọi số nguyên $m,n$, đẳng thức chỉ xảy ra khi $m\varphi+n=0$), và $\deg\varphi = p$. Khai triển $\deg(m\varphi+n) = m^2 p + mnt + n^2 \ge 0$ như một dạng toàn phương theo $m,n$ buộc biệt thức của nó không dương: $t^2 - 4p \le 0$, tức $|t|\le 2\sqrt p$. Vì $\#E(\mathbb{F}_p) - (p+1) = -t$, đây chính xác là chặn đã nêu.