Tiêu chuẩn ổn định theo vết và định thức

Theo định nghĩa đa thức đặc trưng, $\lambda^2-(\text{tr}\,A)\lambda+\det A=0$ có nghiệm $\lambda_{1,2}=\dfrac{\text{tr}\,A\pm\sqrt{(\text{tr}\,A)^2-4\det A}}{2}$, và theo định lý Vieta $\lambda_1+\lambda_2=\text{tr}\,A$ và $\lambda_1\lambda_2=\det A$.

Nếu $\det A<0$ thì $\lambda_1\lambda_2<0$, nên các trị riêng thực và trái dấu (điểm yên ngựa); nghiệm tăng vô hạn dọc theo hướng trị riêng dương, nên gốc tọa độ không ổn định.

Nếu $\det A>0$ và $\text{tr}\,A<0$: khi trị riêng thực, $\lambda_1\lambda_2>0$ nghĩa là cùng dấu, và $\lambda_1+\lambda_2<0$ buộc dấu đó là âm, nên cả $e^{\lambda_1t}\to 0$ và $e^{\lambda_2t}\to 0$; khi trị riêng là số phức liên hợp $\alpha\pm i\beta$, $\text{tr}\,A=2\alpha<0$ cho $\alpha<0$, nên hệ số biên độ $e^{\alpha t}\to 0$ trong khi $\cos(\beta t),\sin(\beta t)$ vẫn bị chặn. Trong mọi trường hợp con, mọi nghiệm đều tắt dần về $\mathbf{0}$: ổn định tiệm cận.

Ngược lại nếu $\text{tr}\,A>0$ (với $\det A>0$, nên trị riêng thực cùng dấu với vết, hoặc phức với phần thực dương), ít nhất một thừa số mũ tăng, nên nghiệm xuất phát gần nhưng không tại gốc tọa độ sẽ di chuyển ra xa: không ổn định. Điều này bao quát mọi tổ hợp dấu, chứng minh sự tương đương.