Hệ phương trình vi phân

Vectơ riêng biến hệ liên kết thành hai phương trình vô hướng tách rời theo các hướng riêng: mỗi $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ di chuyển hoàn toàn dọc theo đường thẳng sinh bởi $\mathbf{v}_i$, tăng hoặc giảm với tốc độ $\lambda_i$, nên chuyển động toàn phần là sự pha trộn của hai chuyển động thẳng độc lập.

Trước tiên kiểm tra $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ thỏa mãn hệ: đạo hàm của nó là $\lambda_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$, còn $A(e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i)=e^{\lambda_i t}A\mathbf{v}_i=e^{\lambda_i t}\lambda_i\mathbf{v}_i$ theo $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$; hai vế khớp nhau, nên đây đúng là nghiệm với $i=1,2$.

Độc lập tuyến tính của $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$: giả sử $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$. Nhân $A$ vào ta được $c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+c_2\lambda_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$. Nhân hệ thức đầu với $\lambda_2$ rồi trừ đi, ta được $c_1(\lambda_1-\lambda_2)\mathbf{v}_1=\mathbf{0}$; vì $\lambda_1\neq\lambda_2$ và $\mathbf{v}_1\neq\mathbf{0}$ nên $c_1=0$, rồi $c_2=0$. Vậy $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ độc lập.

Theo tính tuyến tính của hệ (giống hệt trường hợp vô hướng), mọi tổ hợp $c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$ đều thỏa mãn hệ. Vì $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ độc lập, khớp với điều kiện đầu bất kỳ $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ nghĩa là giải $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{x}_0$ theo $(c_1,c_2)$, có nghiệm duy nhất vì $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ là cơ sở của mặt phẳng. Vậy mọi nghiệm đều được bao quát, cho nghiệm tổng quát $\mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$.

Vết và định thức của $A$ lần lượt là tổng và tích các trị riêng của nó — nên định lý này chuyển một phát biểu về nghiệm của phương trình bậc hai (cả hai đều có phần thực âm) thành phát biểu về hai con số dễ tính, mà không cần giải trị riêng tường minh.

Theo định nghĩa đa thức đặc trưng, $\lambda^2-(\text{tr}\,A)\lambda+\det A=0$ có nghiệm $\lambda_{1,2}=\dfrac{\text{tr}\,A\pm\sqrt{(\text{tr}\,A)^2-4\det A}}{2}$, và theo định lý Vieta $\lambda_1+\lambda_2=\text{tr}\,A$ và $\lambda_1\lambda_2=\det A$.

Nếu $\det A<0$ thì $\lambda_1\lambda_2<0$, nên các trị riêng thực và trái dấu (điểm yên ngựa); nghiệm tăng vô hạn dọc theo hướng trị riêng dương, nên gốc tọa độ không ổn định.

Nếu $\det A>0$ và $\text{tr}\,A<0$: khi trị riêng thực, $\lambda_1\lambda_2>0$ nghĩa là cùng dấu, và $\lambda_1+\lambda_2<0$ buộc dấu đó là âm, nên cả $e^{\lambda_1t}\to 0$ và $e^{\lambda_2t}\to 0$; khi trị riêng là số phức liên hợp $\alpha\pm i\beta$, $\text{tr}\,A=2\alpha<0$ cho $\alpha<0$, nên hệ số biên độ $e^{\alpha t}\to 0$ trong khi $\cos(\beta t),\sin(\beta t)$ vẫn bị chặn. Trong mọi trường hợp con, mọi nghiệm đều tắt dần về $\mathbf{0}$: ổn định tiệm cận.

Ngược lại nếu $\text{tr}\,A>0$ (với $\det A>0$, nên trị riêng thực cùng dấu với vết, hoặc phức với phần thực dương), ít nhất một thừa số mũ tăng, nên nghiệm xuất phát gần nhưng không tại gốc tọa độ sẽ di chuyển ra xa: không ổn định. Điều này bao quát mọi tổ hợp dấu, chứng minh sự tương đương.