Khi D=0: vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

Các bước cộng đại số từ định lý trước không cần $ad-bc\neq0$: chúng cho thấy bất kỳ nghiệm $(x,y)$ nào của $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ cũng phải thoả $(ad-bc)x=ed-bf$, bất kể giá trị của $D$. Khi $ad-bc=0$, vế trái $(ad-bc)x$ bằng $0\cdot x=0$ với mọi $x$, nên phương trình cần thiết này sụp đổ thành mệnh đề số $0=ed-bf$.

**Trường hợp $ed-bf\neq0$ (vô nghiệm).** Mệnh đề $0=ed-bf$ khi đó đơn giản là sai, không phụ thuộc $x$ và $y$. Vì mọi nghiệm của hệ đều phải làm mệnh đề sai này đúng, nên không nghiệm nào tồn tại. Về hình học, hai phương trình mô tả các đường thẳng cùng độ dốc (vì $D=0$) nhưng khác tung độ gốc, tức hai đường thẳng song song không cắt nhau.

**Trường hợp $ed-bf=0$ (vô số nghiệm).** Bây giờ phương trình cần thiết là mệnh đề đúng nhưng trống rỗng $0=0$, nên triệt tiêu y không cho thông tin gì cả — nó tự động đúng với mọi $x$. Cụ thể, vì $D=ad-bc=0$ và $(a,b)\neq(0,0)$, tồn tại hằng số $k$ với $c=ka$ và $d=kb$ (hệ số x,y của phương trình sau tỉ lệ với phương trình đầu); kết hợp với $ed-bf=0$ ta cũng có $f=ke$, nên phương trình sau $cx+dy=f$ chính là $k$ lần phương trình đầu $ax+by=e$. Mọi điểm $(x,y)$ thoả phương trình đầu tự động thoả phương trình sau (nhân phương trình đầu với $k$), nên cả đường thẳng $ax+by=e$ — vô số điểm — đều là nghiệm của hệ.