Hệ phương trình

Một số D duy nhất này gói cả câu hỏi "có bao nhiêu nghiệm" lẫn câu trả lời "chúng là gì": kiểm tra một dấu, và ta biết cộng đại số có thành công hay không trước khi thử.

Suy ra điều kiện cần (triệt tiêu y). Nhân phương trình đầu của $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ với $d$ và phương trình sau với $b$: $adx+bdy=ed$ và $bcx+bdy=bf$. Trừ phương trình sau khỏi phương trình đầu triệt tiêu đúng các hạng tử $bdy$, còn lại $(ad-bc)x=ed-bf$. Phương trình này là hệ quả cần thiết của hệ: bất kỳ cặp $(x,y)$ nào thoả cả hai phương trình gốc cũng phải thoả nó, vì nó chỉ được xây bằng cách cộng/trừ bội của hai phương trình gốc.

Suy ra điều kiện song sinh (triệt tiêu x). Tương tự, nhân phương trình đầu với $c$ và phương trình sau với $a$, rồi trừ phương trình đầu khỏi phương trình sau để triệt tiêu các hạng tử $x$: còn lại $(ad-bc)y=af-ec$, cũng là hệ quả cần thiết của mọi nghiệm.

Sự tồn tại khi D≠0. Nếu $ad-bc\neq0$, phương trình một ẩn $(ad-bc)x=ed-bf$, theo định lý về phương trình bậc nhất một ẩn, có đúng một nghiệm $x=\dfrac{ed-bf}{ad-bc}$; tương tự $(ad-bc)y=af-ec$ cho đúng $y=\dfrac{af-ec}{ad-bc}$. Thay hai giá trị này vào các phương trình gốc của $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ và rút gọn đại số xác nhận cả hai đều được thoả đồng thời (bạn đọc có thể kiểm tra $a\cdot\dfrac{ed-bf}{ad-bc}+b\cdot\dfrac{af-ec}{ad-bc}=e$ bằng cách gộp phân số trên mẫu chung $D$) — vậy nghiệm thực sự tồn tại.

Tính duy nhất khi D≠0. Vì $(ad-bc)x=ed-bf$ và $(ad-bc)y=af-ec$ là cần thiết cho mọi nghiệm của $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ (không chỉ đủ), bất kỳ nghiệm $(x,y)$ nào của hệ gốc, dù là gì, cũng buộc phải thoả $x=\dfrac{ed-bf}{ad-bc}$ và $y=\dfrac{af-ec}{ad-bc}$ chính xác, theo phần duy nhất của định lý một ẩn. Vậy không thể có hai nghiệm khác nhau: kết hợp với sự tồn tại, nghiệm là duy nhất chính xác khi $ad-bc\neq0$.

D=0 nghĩa là hai đường thẳng có cùng độ dốc: về hình học chúng hoặc song song hoàn toàn và không bao giờ gặp nhau (vô nghiệm), hoặc thực ra là cùng một đường thẳng vẽ hai lần (mọi điểm đều là nghiệm) — không bao giờ có một điểm giao duy nhất.

Các bước cộng đại số từ định lý trước không cần $ad-bc\neq0$: chúng cho thấy bất kỳ nghiệm $(x,y)$ nào của $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ cũng phải thoả $(ad-bc)x=ed-bf$, bất kể giá trị của $D$. Khi $ad-bc=0$, vế trái $(ad-bc)x$ bằng $0\cdot x=0$ với mọi $x$, nên phương trình cần thiết này sụp đổ thành mệnh đề số $0=ed-bf$.

**Trường hợp $ed-bf\neq0$ (vô nghiệm).** Mệnh đề $0=ed-bf$ khi đó đơn giản là sai, không phụ thuộc $x$ và $y$. Vì mọi nghiệm của hệ đều phải làm mệnh đề sai này đúng, nên không nghiệm nào tồn tại. Về hình học, hai phương trình mô tả các đường thẳng cùng độ dốc (vì $D=0$) nhưng khác tung độ gốc, tức hai đường thẳng song song không cắt nhau.

**Trường hợp $ed-bf=0$ (vô số nghiệm).** Bây giờ phương trình cần thiết là mệnh đề đúng nhưng trống rỗng $0=0$, nên triệt tiêu y không cho thông tin gì cả — nó tự động đúng với mọi $x$. Cụ thể, vì $D=ad-bc=0$ và $(a,b)\neq(0,0)$, tồn tại hằng số $k$ với $c=ka$ và $d=kb$ (hệ số x,y của phương trình sau tỉ lệ với phương trình đầu); kết hợp với $ed-bf=0$ ta cũng có $f=ke$, nên phương trình sau $cx+dy=f$ chính là $k$ lần phương trình đầu $ax+by=e$. Mọi điểm $(x,y)$ thoả phương trình đầu tự động thoả phương trình sau (nhân phương trình đầu với $k$), nên cả đường thẳng $ax+by=e$ — vô số điểm — đều là nghiệm của hệ.