Định lý Bézout

Gọi $F(x,y,z)$ và $G(x,y,z)$ là các đa thức thuần nhất bậc $d_1 = \deg(C_1)$ và $d_2 = \deg(C_2)$ xác định $C_1$ và $C_2$. Chọn tọa độ xạ ảnh sao cho điểm $[0:1:0]$ không nằm trên đường cong nào và không có hai giao điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng $[x:z]$ đi qua $[0:1:0]$.

Xem $F$ và $G$ như các đa thức theo một biến $y$ với hệ số là các đa thức thuần nhất theo $(x,z)$. Kết thức Sylvester của chúng $R(x,z) = \operatorname{Res}_y(F, G)$ là một đa thức thuần nhất khác không theo $(x,z)$ (khác không vì $F$ và $G$ không có nhân tử chung), và tính bậc thuần nhất trên ma trận Sylvester cho thấy $R(x,z)$ có bậc đúng bằng $d_1 d_2$.

Trên trường đóng đại số $k$, mọi đa thức thuần nhất hai biến bậc $d_1 d_2$ đều phân tích hoàn toàn thành $d_1 d_2$ dạng tuyến tính, tính cả bội. Mỗi nhân tử tuyến tính tương ứng với một đường thẳng qua $[0:1:0]$ chứa một nghiệm chung của $F$ và $G$, và bội của nhân tử đó khớp với bội giao địa phương $\dim_k \mathcal{O}_{P}(C_1 \cap C_2)$ tại điểm đó, cho tổng đúng bằng $\left| C_1 \cap C_2 \right| = \deg(C_1) \cdot \deg(C_2)$.