Hình học đại số

Định lý cho một từ điển chính xác giữa đại số và hình học: các ideal căn của vành đa thức tương ứng song ánh với các đa tạp afin, nên câu hỏi về hình dạng có thể trả lời bằng tính toán thuần túy trên vành, và ngược lại. Nếu bỏ giả thiết $k$ đóng đại số thì từ điển này bị vỡ (trên số thực, $x^2+1$ sinh ra một ideal không tầm thường nhưng có tập nghiệm rỗng).

Trước hết ta phác họa dạng yếu: nếu $J$ là ideal thực sự của $k[x_1,\ldots,x_n]$ thì $V(J)$ khác rỗng. Chọn một ideal tối đại $\mathfrak{m}$ chứa $J$; thương $k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m}$ là một trường, và nó là một $k$-đại số hữu hạn sinh. Bổ đề Zariski nói rằng mọi mở rộng trường như vậy của $k$ là mở rộng đại số hữu hạn của $k$; vì $k$ đóng đại số nên buộc $k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m} = k$. Ảnh của $x_1,\ldots,x_n$ qua ánh xạ thương này cho một điểm $a \in k^n$ với $g(a)=0$ cho mọi $g \in J$, nên $a \in V(J)$.

Với dạng mạnh $I(V(J)) = \sqrt{J}$, bao hàm $\sqrt{J} \subseteq I(V(J))$ là hiển nhiên: nếu $f^r \in J$ thì $f$ triệt tiêu ở mọi nơi mọi phần tử của $J$ triệt tiêu. Bao hàm ngược lại dùng thủ thuật Rabinowitsch: để chứng minh $f \in I(V(J))$ kéo theo $f \in \sqrt{J}$, thêm một biến mới $y$ và xét ideal sinh bởi $J$ cùng với $1 - yf$ trong $k[x_1,\ldots,x_n,y]$.

Ideal mở rộng này có tập nghiệm rỗng (mọi nghiệm chung sẽ cần mọi phần tử sinh của $J$ triệt tiêu, buộc $f$ cũng triệt tiêu ở đó, mâu thuẫn với $1-yf=0$). Theo dạng yếu vừa chứng minh, ideal mở rộng này phải là toàn bộ vành, nên $1$ là một tổ hợp đa thức của các phần tử sinh. Thay $y = 1/f$ và khử mẫu số cho ra một biểu thức tường minh cho thấy một lũy thừa $f^r$ nằm trong $J$, đó chính là $f \in \sqrt{J}$.

Trong mặt phẳng thực thông thường, hai đường cong có thể không gặp nhau khi các nghiệm trở thành số phức hoặc khi các giao điểm trôi ra vô cực. Làm việc trên một trường đóng đại số $k$ trong không gian xạ ảnh $\mathbb{P}^2(k)$ và đếm các tiếp xúc theo bội đại số tự nhiên của chúng giúp khôi phục tính đồng nhất hoàn toàn: số giao điểm chỉ phụ thuộc vào bậc $\deg(C_1)$ và $\deg(C_2)$.

Gọi $F(x,y,z)$ và $G(x,y,z)$ là các đa thức thuần nhất bậc $d_1 = \deg(C_1)$ và $d_2 = \deg(C_2)$ xác định $C_1$ và $C_2$. Chọn tọa độ xạ ảnh sao cho điểm $[0:1:0]$ không nằm trên đường cong nào và không có hai giao điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng $[x:z]$ đi qua $[0:1:0]$.

Xem $F$ và $G$ như các đa thức theo một biến $y$ với hệ số là các đa thức thuần nhất theo $(x,z)$. Kết thức Sylvester của chúng $R(x,z) = \operatorname{Res}_y(F, G)$ là một đa thức thuần nhất khác không theo $(x,z)$ (khác không vì $F$ và $G$ không có nhân tử chung), và tính bậc thuần nhất trên ma trận Sylvester cho thấy $R(x,z)$ có bậc đúng bằng $d_1 d_2$.

Trên trường đóng đại số $k$, mọi đa thức thuần nhất hai biến bậc $d_1 d_2$ đều phân tích hoàn toàn thành $d_1 d_2$ dạng tuyến tính, tính cả bội. Mỗi nhân tử tuyến tính tương ứng với một đường thẳng qua $[0:1:0]$ chứa một nghiệm chung của $F$ và $G$, và bội của nhân tử đó khớp với bội giao địa phương $\dim_k \mathcal{O}_{P}(C_1 \cap C_2)$ tại điểm đó, cho tổng đúng bằng $\left| C_1 \cap C_2 \right| = \deg(C_1) \cdot \deg(C_2)$.