Định lý Ptolemy

Bước 1: Dựng điểm phụ. Trên đường chéo $AC$, dựng điểm $K$ sao cho $\angle ABK = \angle DBC$ (tức tia $BK$ tạo với $BA$ góc bằng góc $BD$ tạo với $BC$), với $K$ chọn trên đoạn $AC$.

Bước 2: Tìm cặp tam giác đồng dạng đầu tiên. Vì $ABCD$ nội tiếp, $\angle BAC = \angle BDC$ (cùng chắn cung $BC$). Kết hợp với $\angle ABK = \angle DBC$ theo dựng hình, tam giác $ABK$ và $DBC$ có hai góc bằng nhau, nên $\triangle ABK \sim \triangle DBC$ theo góc-góc.

Bước 3: Rút ra hệ thức đầu. Từ $\triangle ABK \sim \triangle DBC$: $\frac{AK}{DC} = \frac{AB}{DB}$, nên $AK \cdot DB = AB \cdot DC$.

Bước 4: Tìm cặp tam giác đồng dạng thứ hai. Vì $ABCD$ nội tiếp, $\angle ABD = \angle ACD$ (cùng chắn cung $AD$). Xét tam giác $KBC$ và $ABD$: $\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = \angle ABC - \angle DBC = \angle ABD$ (do $K$ nằm trên đoạn $AC$), và $\angle BCK = \angle BCA = \angle BDA$ (cùng chắn cung $AB$), nên $\triangle KBC \sim \triangle ABD$ theo góc-góc.

Bước 5: Rút ra hệ thức thứ hai. Từ $\triangle KBC \sim \triangle ABD$: $\frac{KC}{AD} = \frac{BC}{BD}$, nên $KC \cdot BD = AD \cdot BC$.

Bước 6: Cộng hai hệ thức. Cộng kết quả Bước 3 và Bước 5: $AK\cdot DB + KC\cdot BD = AB\cdot DC + AD\cdot BC$, tức $BD(AK+KC) = AB\cdot DC + AD\cdot BC$. Vì $K$ nằm trên đoạn $AC$ nên $AK+KC=AC$, cho đúng $AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC$.