Hình học Olympic

Định lý này là công cụ được dùng lại nhiều nhất trong hình học Olympic: nó biến bất kỳ hình vẽ nào có hai cát tuyến, một tiếp tuyến và một cát tuyến, hoặc hai dây cung qua một điểm thành một phương trình đại số, tránh đuổi góc theo từng trường hợp.

Bước 1: Lập tam giác đồng dạng. Gọi hai đường thẳng qua $P$ cắt đường tròn tại $A,B$ và $C,D$. Vì $A,B,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn, các góc nội tiếp $\angle PAC$ và $\angle PDB$ chắn cùng cung $BC$ (hoặc cung bù, tùy cấu hình), nên $\angle PAC = \angle PDB$.

Bước 2: Khớp cặp góc thứ hai. Góc tại $P$ trong tam giác $PAC$ và góc tại $P$ trong tam giác $PDB$ hoặc bằng nhau (nếu $P$ ở ngoài đường tròn, hai đường chung đỉnh $P$ nên góc đó chính là cùng một góc) hoặc là góc đối đỉnh (nếu $P$ ở trong đường tròn). Dù thế nào $\angle APC = \angle DPB$.

Bước 3: Kết luận đồng dạng. Hai tam giác $PAC$ và $PDB$ có hai cặp góc bằng nhau nên đồng dạng theo trường hợp góc-góc: $\triangle PAC \sim \triangle PDB$.

Bước 4: Rút ra tỉ số. Tam giác đồng dạng cho các cạnh tương ứng tỉ lệ: $\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$, biến đổi thành $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ (dùng độ dài không dấu trước, cho $P$ ở ngoài đường tròn).

Bước 5: Tính giá trị chung qua đường kính. Chọn đường thẳng cụ thể qua $P$ và tâm $O$, cắt đường tròn tại hai điểm trên đường kính, ở khoảng cách có dấu $OP - r$ và $OP + r$ từ $P$ (lấy $P$ ở ngoài nên $OP > r$). Tích của chúng là $(OP-r)(OP+r) = OP^2 - r^2$, mà theo Bước 4 phải bằng $PA \cdot PB$ với mọi đường qua $P$.

**Bước 6: Xử lý $P$ ở trong đường tròn bằng độ dài có dấu.** Khi $P$ nằm trong đường tròn, $A,P,B$ theo thứ tự đó trên dây cung, nên $\overrightarrow{PA}$ và $\overrightarrow{PB}$ ngược hướng và tích có dấu $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} = -PA\cdot PB$ âm; lặp lại Bước 1–5 với đường kính qua $P$ cho $-PA\cdot PB = OP^2-r^2$ (nay âm vì $OP<r$), nên đẳng thức $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=OP^2-r^2$ đúng đồng nhất kể cả dấu, hoàn tất chứng minh.

Định lý Ptolemy cho một đẳng thức đại số chính xác với mọi tứ giác nội tiếp, và dạng bất đẳng thức của nó ($AC \cdot BD \le AB\cdot CD + AD\cdot BC$ với tứ giác bất kỳ, đẳng thức khi và chỉ khi nội tiếp) là cách nhanh để vừa chứng minh bốn điểm đồng viên vừa suy ra các đẳng thức lượng giác như công thức cộng sin.

Bước 1: Dựng điểm phụ. Trên đường chéo $AC$, dựng điểm $K$ sao cho $\angle ABK = \angle DBC$ (tức tia $BK$ tạo với $BA$ góc bằng góc $BD$ tạo với $BC$), với $K$ chọn trên đoạn $AC$.

Bước 2: Tìm cặp tam giác đồng dạng đầu tiên. Vì $ABCD$ nội tiếp, $\angle BAC = \angle BDC$ (cùng chắn cung $BC$). Kết hợp với $\angle ABK = \angle DBC$ theo dựng hình, tam giác $ABK$ và $DBC$ có hai góc bằng nhau, nên $\triangle ABK \sim \triangle DBC$ theo góc-góc.

Bước 3: Rút ra hệ thức đầu. Từ $\triangle ABK \sim \triangle DBC$: $\frac{AK}{DC} = \frac{AB}{DB}$, nên $AK \cdot DB = AB \cdot DC$.

Bước 4: Tìm cặp tam giác đồng dạng thứ hai. Vì $ABCD$ nội tiếp, $\angle ABD = \angle ACD$ (cùng chắn cung $AD$). Xét tam giác $KBC$ và $ABD$: $\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = \angle ABC - \angle DBC = \angle ABD$ (do $K$ nằm trên đoạn $AC$), và $\angle BCK = \angle BCA = \angle BDA$ (cùng chắn cung $AB$), nên $\triangle KBC \sim \triangle ABD$ theo góc-góc.

Bước 5: Rút ra hệ thức thứ hai. Từ $\triangle KBC \sim \triangle ABD$: $\frac{KC}{AD} = \frac{BC}{BD}$, nên $KC \cdot BD = AD \cdot BC$.

Bước 6: Cộng hai hệ thức. Cộng kết quả Bước 3 và Bước 5: $AK\cdot DB + KC\cdot BD = AB\cdot DC + AD\cdot BC$, tức $BD(AK+KC) = AB\cdot DC + AD\cdot BC$. Vì $K$ nằm trên đoạn $AC$ nên $AK+KC=AC$, cho đúng $AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC$.