Định lý Hopf–Rinow

(i) $\Rightarrow$ tồn tại đường trắc địa cực tiểu: cố định $p,q \in M$ và đặt $r = d(p,q)$. Mặt cầu metric nhỏ $S_\varepsilon(p)$ compact, nên hàm liên tục $x \mapsto d(x,q)$ đạt cực tiểu trên đó tại một điểm $x_0 = \gamma(\varepsilon)$, với $\gamma$ là đường trắc địa tốc độ đơn vị từ $p$ qua $x_0$ (xác định với mọi thời gian nhờ tính trắc địa đầy đủ). Ta chỉ ra $d(\gamma(\varepsilon),q) = r-\varepsilon$, rồi mở rộng điều này cho tập $A = \{t \in [0,r] : d(\gamma(t),q) = r-t\}$: $A$ khác rỗng và đóng theo tính liên tục, và lặp lại lập luận mặt cầu cực tiểu tương tự tại $\gamma(t_0)$ với mọi $t_0 \in A$, $t_0<r$, cho thấy $A$ cũng mở trong $[0,r]$, nên $A=[0,r]$ và $\gamma(r)=q$.

(i) $\Rightarrow$ (ii): với một dãy Cauchy $(x_n)$ trong $M$, lập luận ở trên cho thấy hai điểm đủ gần nhau được nối bằng một đường trắc địa cực tiểu có độ dài bằng khoảng cách giữa chúng; một quả cầu metric đóng quanh một điểm cố định khi đó là ảnh liên tục của một quả cầu đóng trong $T_pM$ qua ánh xạ mũ, do đó compact, nên dãy Cauchy cuối cùng nằm trong một tập compact và hội tụ.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): tính đầy đủ metric cùng với tính compact địa phương (mọi đa tạp Riemann đều compact địa phương) kéo theo các quả cầu đóng là bị chặn toàn phần và đầy đủ, do đó compact theo đặc trưng chuẩn của tính compact trong không gian metric; một tập đóng và bị chặn tổng quát là một tập con đóng của một quả cầu đóng nào đó, nên compact vì là tập con đóng của một tập compact.

(iii) $\Rightarrow$ (i): giả sử một đường trắc địa tốc độ đơn vị $\gamma$ chỉ được xác định trên một khoảng cực đại $[0,T)$ với $T<\infty$. Khi $t \to T^-$, $\gamma(t)$ vẫn nằm trong quả cầu đóng bán kính $T$ quanh $\gamma(0)$, compact theo (iii); một dãy $\gamma(t_n)$ với $t_n \to T$ khi đó có một dãy con hội tụ, và lý thuyết tồn tại chuẩn cho phương trình vi phân trắc địa (một hệ bậc hai với hệ số trơn) cho thấy nghiệm mở rộng trơn qua $T$, mâu thuẫn với tính cực đại của $T$. Do đó mọi đường trắc địa mở rộng ra toàn bộ $\mathbb{R}$.